Kritische Punkte berechnen f(x,y)


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Guten Tag

Kann jemand meine Lösungen kurz überfliegen und mir sagen, ob das ungefähr richtig aussieht? Ich bin mir eigentlich relativ sicher, dass ich nichts falsch gemacht habe. Ausser bei der ersten Teilaufgabe bin ich mir nicht sicher, ob da wirklich ein Sattelpunkt vorliegt oder nicht.

Ich habe natürlich alles entsprechend geplotted und kontrolliert, ob ich ungefähr richtig liege. Leider zeigt Wolframalpha aber nicht immer alle Lösungen an wie mir scheint.

Vielen Dank

LG

Wizz

 

gefragt vor 7 Monate, 1 Woche
w
wizzlah,
Student, Punkte: 226
 
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1 Antwort
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Hallo,

bei der b) sind alle Punkte die auf dem Kreis liegen, Extrema. Der Punkt \( P(2|2) \) gehört aber nicht dazu, denn \( 2^2 + 2^2 = 8 \neq 4 \).

Ich überlege gerade noch ob das wirklich stimmt, aber ich meine das du einen Punkt des Kreises nehmen kannst und der Rest die selbe Art von Extremum sein muss. 
Da zwischen zwei Extremas auf dem Kreis keine Zahl ist die kein Extremum ist und die Funktion stetig ist, müssten alles Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte nehmen. 
Um das zu überprüfen könntest du den Punkt \( P(2|0) \) nehmen.

Bei der Hesse Matrix von c) hast du dich glaube ich vertan. Habe es mal in einen Rechner gehauen und erhalte als zweite Ableitung von \( x \)

\( 30x^4 +(36y^2 -36)x^2 +6y^4 - 12y^2 + 6 \)

Für die gemischte Ableitung erhalte ich auch nicht Null, sondern

\( 24xy (y^2 +x^2 -1) \)

Ansonsten ist aber alles richtig :)

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.65K
 

Hallo Christian

Ja ich habe dummerweise nicht die Produktregel angewandt beim Ableiten. ^^ Dann ist es klar, dass es falsch sein wird, vielen Dank für den Hinweis.

Das mit den Lösungen bezüglich b ist mir auch klar geworden ich sollte vielleicht sicherheitshalber die Punkte einsetzten, um zu überprüfen, ob es stimmt.

Jetzt habe ich aber folgendes Problem. Setze ich den Punkt (2 | 0 ) ein, dann erhalte ich folgende Matrix : ( 8 0 ; 0 0 ) also EW1 = 8 und EW2 = 0 und dann lässt sich (laut Skript) keine Aussage über das Extremum machen.
Wie gehe ich dann weiter vor?
  -   wizzlah, kommentiert vor 7 Monate, 1 Woche

Ja kleine Proben zwischendurch sind sehr nützlich. Über die Zeit bekommt man auch ein Gefühl dafür ob eine Lösung passt oder nicht :)

Bei semidefiniten Matrizen überprüft man graphisch die Art des Extremums. Plotte die Funktion mal und schau dir die Stellen an.

Du kannst dir auch die direkte Umgebung der Punkte anschauen und überprüfen, ob alle Punkte in der Umgebung kleiner (Maximum) oder größer (Minimum) sind. Bei gemischten Werten liegt ein Sattelpunkt vor.
Setze mal \( y=0 \) und guck dir das Extremum der 1D Funktion an. Genauso wie für \( x=2 \).
Wenn du hier zwei unterschiedliche Extrema heraus bekommst, weißt du auch schon das ein Sattelpunkt vorliegt.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate, 1 Woche


Vielen Dank für den Tipp ich habe was ähnliches vermutet aber war mir nicht sicher :-)Es sind jetzt bei mir alles Maximas herausgekommen und das sollte (nach Graph) korrekt sein ;-)
  -   wizzlah, kommentiert vor 7 Monate, 1 Woche
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