Jap genau. Es gilt

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+1}} - \frac 1 {f_{n+1} f_{n+2}} \)

Nun gilt für eine Teleskopsumme

\( \sum_n^{\infty} (a_{n} - a_{n+1}) \)

Wenn du dir die beiden Summen nun anguckst, setzen wir

\( a_n = \frac 1 {f_n f_{n+1}} \) 

Nun setze da doch mal anstatt \( n \) ein \( n+1 \) ein. Du musst deinen Subtrahenden dafür erhalten. 

Wenn es dir immer noch nicht ganz klar ist, dann schreib es mal aus

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+1}} - \frac 1 {f_{n+1} f_{n+2}} = (\frac 1 {f_1 f_2} - \frac 1 {f_2 f_3} ) + ( \frac 1 {f_2 f_3} - \frac 1 {f_3 f_4} ) + ( \frac 1 {f_3 f_4} - \frac 1 {f_4 f_5} ) + \ldots \)

Das können wir umschreiben zu

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+1}} - \frac 1 {f_{n+1} f_{n+2}} = \frac 1 {f_1 f_2} + (- \frac 1 {f_2 f_3}  +  \frac 1 {f_2 f_3} ) + ( - \frac 1 {f_3 f_4}  +  \frac 1 {f_3 f_4}) +  \ldots \)

Grüße Christian

Hallo,

erweitere den Bruch mal mit \( (f_{n+1} f_{n+1}) \) zu

\( \frac {f_{n+1} f_{n+1} } {f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+2}} \)

Nun überlege dir wie du den Zähler zu einer Differenz umformen kannst, damit du daraus den Bruch in die Form einer Teleskopsumme bringen kannst.

Grüße Christian

Das ist genau der richtige Gedanke. Allerdings ersetzt du nur ein \( f_{n+1} \) im Zähler durch \( f_{n+2} - f_n \)

\( \frac {f_{n+1} (f_{n+2} - f_n)} {(f_nf_{n+1})(f_{n+1} f_{n+2} ) } \)

Habe den Nenner auch schon mal etwas sortiert. Fällt es dir jetzt auf?

Grüße Christian

Ich muss ehrlich sagen durch rumprobieren. Man versucht eben diese Differenz zu erzeugen und die einzige sinnvolle Idee war über die Definiton.

Bei der b) ist es etwas anders. Die resultierende Form ist zwar auch eine Teleskopsumme von der Idee her, aber doch nicht ganz wenn man sich die Definiton anguckt. Aber fangen wir erstmal an ;)

Wir haben 

\( \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {n^2 + 5n + 4} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {(n+1)(n+4)} \)

Diesen Schritt habe ich gemacht, um wie bei der a) ein Produkt im Nenner zu erzeugen. Hier habe ich dann lange überlegt wie ich auf eine Differenz kommen könnte. Die richtige Lösung erhielt ich dann mittels Partialbruchzerlegung.

Probier es mal. Erkennst du hier die Teleskopsumme?

Grüße Christian