Hallo,

du möchtest

$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

zeigen? :)

Induktionsanfang:

$$\sum_{k=1}^1k^2=1^2=1=\frac{6}{6}=\frac{1}{6}1(1+1)(2+1)$$

Induktionsvoraussetzung: Es gilt:

$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

Induktionsschritt (Übergang zu \(n+1\)):

$$\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2$$

$$=\frac{1}{6}(n^2+n)(2n+1)+n^2+2n+1=\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+n)+\frac{1}{6}(6n^2+12n+6)$$

$$=\frac{1}{6}(2n^3+9n^2+13n+6)$$

Jetzt fängst du von der Rückseite an:

$$\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)=\frac{1}{6}(n^2+3n+2)(2n+3)$$

$$=\frac{1}{6}(2n^3+6n^2+4n+3n^2+9n+6)=\frac{1}{6}(2n^3+9n^2+13n+6)$$

Du hast also in beiden Fällen das Gleiche raus, also bist du fertig! ;)

Du brauchst also gar keine Nullstellen zu suchen, sondern musst nur ausmultiplizieren! :)

Hallo,

du kannst für eine Funktion dritten Grades die Formel von Cardano benutzen, aber das macht glaube ich keinen Spaß. Die Nullstellen sind hier so ekelhaft, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass man sie in vernünftiger Zeit bestimmen kann...

Wenn du "einfach nur" Nullstellen von "schönen" Funktionen bestimmen willst, dann schau dir Teiler des konstanten Teils an. Zum Beispiel

$$x^3-4x^2-11x+30$$

Hier findest du sogar alle Nullstellen in der Menge

$$\{-30,-15,-10,-6,-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,5,6,10,15,30\}$$

Ich würde dabei mit den kleinen Zahlen anfangen, die sind leicht zu rechnen! ;)

Sobald du eine gefunden hast, kannst du Polynomdivison machen und dann mit p-q-Formel die anderen beiden finden! :)