Hallo!

Hier ein kleines Beispiel:

Das Volumen für die Kugel lautet allgemein \(\displaystyle  \frac{4}{3}\pi r^3 =: V(r)\).

Berechnen wir nun \(\displaystyle  V'(r) = 3\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3-1} = 4\pi r^2\), so erhalten wir die Oberfläche der Kugel.

Betrachten wir doch Dein Beispiel als einen Zylinder, welcher geviertelt wurde, also allgemein \(\displaystyle  V(r) := \frac{1}{4}\pi r^2 h\), wobei \(\displaystyle  h\) für dei Höhe steht.

Bilden wir die Ableitung, so erhalten wir die gesamte Oberfläche:

\(\displaystyle  O(r) := V'(r) = \frac{1}{2}\pi r h\). Wenn Wir jetzt nur die Oberfläche von dem Kreisband haben wollen, so müssen wir von \(\displaystyle  O(r)\) die beiden Rechtecke (hier zusammengefasst mit dem Faktor 2) \(\displaystyle  2rh\) und die beiden Kreissegmente (ebenfalls zusammengefasst) \(\displaystyle  \frac{1}{2}\pi r^2\) subtrahieren, also \(\displaystyle  \frac{\pi r h}{2}-2rh-\frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi r\big(h-r\big)-4rh}{2}\).

Gruß.

Hallo,

du meinst die Oberfläche einer Kugel? Die ist

\( O = 4 \pi r^2 \).