Hi keka,
ich bin zwar im Wahrscheinlichkeitstheorie etwas eingerostet, aber ich denke Du hast Recht.
Zunächst einmal kann man für jedes \(1<= i <= n\) sagen, dass \(P(X_{i}\in [-1;0))=\theta\) und \(P(X_{i}\in [0;1])= 1-\theta\) und daher muss \(P(Y_{i}=1)=P(X_{i}\in[-1;0))=\theta\) bzw. \(P(Y_{i}=0)=1-\theta\) wie Du schon festgestellt hast. \(E(Y_{i})=0*(1-\theta)+1*\theta=\theta\) stimmt auch.
Beim Erwartungswert von \(N_(n)\) denke ich gilt folgende Überlegung: da die \(X_{i}\) iid (Abk. für unabh. und identisch verteilt) sind und jedes \(Y_{i}\) von genau einem \(X_{i}\) abhängt, sind auch alle \(Y_{i}\) iid. Damit ergibt sich: \(E(N_{(n)})=E(\sum_{i=1}^{n}Y_{i})=\sum_{i=1}^{n}E(Y_{i})=n*\theta \).
Zur Frage nach der Verteilung von \(N_{(n)}\): was macht \(N_{(n)}\) denn? Es zählt wie viele \(Y_{i}\) den Wert \(=1\) haben, oder nicht? Welche der \(Y_{i}\) dabei \(=1\) sind, bzw. waren ist doch irrelevant, richtig? An welche Verteilung erinnert Dich das dann? Mit dem Wissen kannst Du dann auch die Varianz leicht berechnen...
Hoffe das hilft schon einmal,
MoNil
P.S. Das das Integral den Wert \(\theta+1-\theta = 1\) hat sollte nicht überraschend sein,,, \(f_{\theta}(x)\) ist ja eine Wahrscheinlichkeitsdichte und da gilt \(P(\Omega)=1\)
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Ohne den exakten Namen nachgesehen zu haben ist das eine Binomial-Verteilung (d.h. n-malige hintereinanderausführung eines Bernoulli Experiments); ich glaube die Bernoulli-Verteilung ist nur die des Bernoulli-Experiments (also die Verteilung eines jeden \(Y_{i}\)); aber vielleicht meintest Du das auch ;-) ─ monil 12.03.2020 um 15:38
Yi einer Bernoulliverteilung mit Parameter Theta gleicht
und demnach:
N(n) einen Bernoulli-Prozess darstellt, welcher einer Binomialverteilung mit parameter p=theta folgt mit dem Erwartungswert theta*n und einer Varianz von: n*p*q oder theta*(1-theta)*n ─ keka 12.03.2020 um 14:47