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Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen und komme einfach überhaupt nicht mehr weiter.

Gegeben ist die Differentialgleichung
$y'(y+x^{2}y) + y^{2}x + 4x = 0$
Und ich soll sie durch Trennung der Variablen lösen, sowie die Integrationskonstante c so ermitteln, dass gilt $y(1) = 0$

Wie gehe ich hier vor?
So weit bin ich bisher gekommen:

Gleichung nach $y'$ auflösen:
$y'(y+x^{2}y) = -y^{2}x - 4x$
$y' = \frac{-y^{2}x-4x}{y+x^{2}y}$
Und Variablen Trennen:
$\frac {dy}{dx}=\frac{-y^{2}x-4x}{y+x^{2}y} = \frac{x*(-y^{2}-4)}{y*(1+x^{2})} = x*\frac{1}{y}* (-y^{2}-4)*\frac{1}{1+x^{2}}$
$\frac {dy}{dx}=\frac{x}{1+x^{2}}*\frac{-y^{2}-4}{y}$
$\frac {dy}{\frac {-y^{2}-4}{y}}=\frac{x}{1+x^{2}}dx$
$\int\frac{y}{-y^{2}-4}dy = \int\frac{x}{1+x^{2}}dx$

Hier habe ich schon die erste Schwierigkeit: wie integriere ich solche Brüche? Ich kann ja nicht substituieren, weil die Zähler sind doch keine Ableitungen von dem Nenner, oder!?

Ich habe mir vorerst mit dem Online Integralrechner weitergeholfen, aber leider verstehe ich trotz dem angegebenen Rechenweg nicht, wie diese Brüche integriert wurden, falls mir das jemand erklären kann, wäre ich sehr dankbar!

Das hier wären jedenfalls die Ergebbnisse der Integrale laut Integralrechner:
$-\frac{\ln(y^{2}+4)}{2}+c_{1} = \frac{\ln(x^{2}+1)}{2}+c_{2}$

Und wie geht es ab hier weiter? Ich versuche nach y aufzulösen:
$-\ln(y^{2}+4)=\ln(x^{2}+1)+2(c_{2}-c_{1})$
$-\ln(y^{2}+4)=\ln(x^{2}+1)+\ln(c)$
$-\ln(y^{2}+4)=\ln(c(x^{2}+1))$
$-y^{2}-4=cx^{2}+c$
$y^{2}=-cx^{2}-c-4$
$y=\sqrt{-cx^{2}-c-4}$

Damit $y(1)=0$ eintritt, muss dann also $c=-2$ sein.

Weder die Gleichung die ich als Ergebnis hab, noch das Ergebnis für c ist jedoch richtig.

Wo liegt also mein Fehler, bzw. wie löst man eine solche Aufgabe??

Danke!

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Zu den Integralen siehe die anderen Antworten.
Zur weiteren Rechnung: wende erst die e-Funktion an, wenn auf der einen Seite nur $\ln...$ steht. Schreib lieber einen Schritt zuviel hin als (wie hier) einen zuwenig.
$e^{-\ln a} =a^{-1}$, und nicht $-a$.
Definiere außerdem keine neuen Variablen indirekt. D.h. $c:=2(c_2-c_1)$ ist okay, aber nicht $\ln c:=...$. In Deinem Fall kann das $c$ dann nur $>0$ sein, und schon allein deshalb ist Dein Ergebnis $c=-2$ problematisch.
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Vielen Dank!! Mit dem $e^{-\ln}$ hab ich einen blöden Fehler gemacht, danke für den Hinweis!

Beim definieren von $c$ wurde uns allerdings beigebracht, $\ln{\vert{c}\vert}$ zu verwenden. Die Betragsstriche hab ich jetzt vergessen gehabt (müsste ich ja überall haben, oder?), aber ist das grundsätzlich nicht richtig? Es steht sogar so in der Formelsammlung die ich derzeit verwende (Papula).

Wenn ich $e^{-\ln}$ richtig berechne und $\ln{\vert{c}\vert}$ verwende, komme ich jetzt sogar auf das richtige Ergebnis!
Ich habe also
$-\frac{\ln \vert y^{2}+x \vert}{2}+c_{1}=\frac{\ln \vert x^{2}+1 \vert}{2}+c_{2}$
$-\ln \vert y^{2}+x \vert=\ln \vert x^2+1 \vert +2(c_{2}-c_{1})$
$-\ln \vert y^{2}+x \vert=\ln \vert x^2+1 \vert +c_{3}$

Und wenn ich mit $c_{3}=\ln{\vert{c}\vert}$ weitermache:
$-\ln \vert y^{2}+x \vert =\ln \vert x^2+1 \vert +\ln{\vert{c}\vert}$
$\ln \vert y^{2}+x \vert =-\ln \vert x^2+1 \vert -\ln{\vert{c}\vert}$
$\ln \vert y^{2}+x \vert = -\ln \vert \frac{x^{2}+1}{c} \vert$
$y^{2}+4=\frac{1}{\frac{x^{2}+1}{c}}$
$y^{2}=\frac{c}{x^{2}+1}-4$
$y=±\sqrt{\frac{c}{x^{2}+1}-4}$

Und demnach auch $c=8$.

Wie wäre der richtige Rechenweg bei dem das $\ln{\vert{c}\vert}$ gänzlich vermieden wird?
  ─   hetg5 28.12.2021 um 17:19

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In Deiner Lösung sollte überall $y^2+4$ stehen (nicht $y^2+x$). Ohne $\ln |c|$ würdest Du einfach mit $c_3$ weiterrechnen, die Umformungen sind dieselben. Das Ergebnis ist das gleiche wie Deins, nur steht anstelle von $c$ dann $e^{-c_3}$ da, was auf $e^{-c_3}=8$ führt.
Noch ein Hinweis, was man hieraus lernen kann: Normalerweise (d.h. in den allermeisten Fällen) hat ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung. Hier nicht, wegen dem $\pm$ vor der Wurzel gibt es zwei verschiedene Funktionen, die beide Lösungen der Dgl sind und die Anfangsbedingung erfüllen. Das liegt daran, dass in der zu $y'=...$ umgestellten Form die rechte Seite für $y=0$ nicht definiert ist (prüfe das mal nach).
Wäre die Anfangsbedingung nicht $y(1)=0$, sondern z.B. $y(1)=7$ oder $y(1)=-2$ oder was auch immer, dann gäbe es eine eindeutige Lösungs des AWPs (prüfe auch das mal nach). Dann wäre die rechte Seite der Dgl im fraglichen y-Wert ja auch definiert (und diffbar usw.).
  ─   mikn 28.12.2021 um 17:51

Ui, richtig, das war ein Tippfehler hier am Computer! Am Papier hab ich natürlich überall $y^{2}+4$ stehen.

Vielen Dank für die Ausführungen, das hat mir sehr weiter geholfen!
  ─   hetg5 28.12.2021 um 19:19

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Es gilt $\displaystyle\int_\!\frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x=\ln(f(x))$. Das folgt aus der Kettenregel und sollte man immer im Hinterkopf haben. In deinem Fall muss man noch mit einem passenden Faktor multiplizieren/dividieren, damit im Zähler auch die korrekte Ableitung steht.
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Okay, danke! - die Regel kannte ich, ich hatte nur keine Ahnung wie sie hier anzuwenden ist... Ich muss die Integrale also erweitern zu $\frac{1}{-2}\int\frac{y}{\frac{y^{2}}{2}+2}$ bzw. $\frac{1}{2}\int\frac{x}{\frac{1}{2}+\frac{x^{2}}{2}}$ und dann die Substitutionsregel anwenden oder wie?

Und was habe ich im zweiten Teil der Aufgabe falsch? Ich habe ja die Integrale aus dem Integralrechner verwendet und dann versucht c auszurechnen durch Auflösen nach y... Wie gehe ich das richtig an? Mein Ergebnis ist laut der Lösung zur Aufgabe falsch, es müsste $y =±\sqrt{\frac{c}{1+x^{2}}-4}$ bzw. $c = 8$ rauskommen. Wie komme ich zu diesem Ergebnis?
  ─   hetg5 28.12.2021 um 16:32

Deine Frage ist in meiner Antwort unten beantwortet. Lies immer erstmal alle Antworten durch, die ergänzen sich nämlich manchmal.   ─   mikn 28.12.2021 um 16:37

Substitution brauchst du ja dann nicht mehr. Den Faktor 2 würde ich übrigens in den Zähler schreiben, dann vermeidet man Doppelbrüche. Für den zweiten Teil siehe die Antwort von mikn.   ─   cauchy 28.12.2021 um 16:38

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Du mußt die beiden Integrale \(\int \frac{y}{y^2+4} dy \) und \(\int \frac{x}{x^2+1} dx \) berechnen. Beide sind doch gerade von dem Typ, den Du zum Substituieren nutzen kannst. Im Zähler steht doch quasi die Ableitung des Nenners (bis auf den faktor 2). Also versuche z.B. \(u=y^2+4 \) für das 1. Integral. Den rest schaffst Du dann schon.
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Danke! Da du fast zeitgleich mit Cauchy auf mein Problem mit den Integralen geantwortet hast kopiere ich hier die Antwort die ich auf sein Kommentar geschrieben habe:
Die Regel kannte ich zwar, ich hatte nur keine Ahnung wie sie hier anzuwenden ist... Ich muss die Integrale also erweitern zu $\frac{1}{-2}\int\frac{y}{\frac{y^{2}}{2}+2}$ bzw. $\frac{1}{2}\int\frac{x}{\frac{1}{2}+\frac{x^{2}}{2}}$ und dann die Substitutionsregel anwenden oder wie?

Und was habe ich im zweiten Teil der Aufgabe falsch? Ich habe ja die Integrale aus dem Integralrechner verwendet und dann versucht c auszurechnen durch Auflösen nach y... Wie gehe ich das richtig an? Mein Ergebnis ist laut der Lösung zur Aufgabe falsch, es müsste $y =±\sqrt{\frac{c}{1+x^{2}}-4}$ bzw. $c = 8$ rauskommen. Wie komme ich zu diesem Ergebnis?
  ─   hetg5 28.12.2021 um 16:33

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Deine Frage ist in meiner Antwort unten beantwortet. Lies immer erstmal alle Antworten durch, die ergänzen sich nämlich manchmal.   ─   mikn 28.12.2021 um 16:37

Danke! Als ich die Antwort verfasst habe, war diese dritte Antwort noch nicht da.   ─   hetg5 28.12.2021 um 16:50

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