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Wir sind beim Fall U ungleich 0. ALso ab dem zweiten Satz. 
Sagen wir ich habe eine Gruppe wo gilt die kleinste Zahl in U die größer 0 wäre, wäre die 7. Nun sage ich einfach ich habe  a=15, was auch in U wäre, wenn ich nun mit a=qm+r auf 15 kommen will, ist doch r nicht zwangsläufig 0, sondern in dem Falle sogar 1. Es ist nur 0, wenn ich immer drauf achte, dass m ein vielfaches von a ist, aber dann würde ich doch von Anfang an ausgehen, dass Untergruppen nur von mZ sind und da wäre der Beweis ja unnötig. Also diese Begründung bei dem Beweis passt ja nur, wenn ich ein a € U so auswähle, dass das ein Vielfaches von a ist bzw. m ein Teiler von a ist, aber dann müsste ich ja nichts beweisen.
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Du nimmst an, als Beispiel $m=7$, und $a=15$. Beide sollen in $U$ sein (das ist der entscheidende Punkt hier!). Natürlich ist $15=2\cdot 7 +1$, und im Beweis ist ja erklärt, dass dann $1=15-2\cdot 7$ auch in $U$ sein muss, was aber nicht geht, da ja 7 das kleinste Element in $U$ ist. Widerspruch.
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Genau, aber das stört mich.

Wir MÜSSEN, also eine Untergruppe nehmen, die wie zM aufgebaut ist, weil nur diese erfüllt dann auch wirklich die Bedingungen und da ist dann auch r=0.

Aber wozu dann der Beweis? Ich will doch beweisen, dass nur zM die Untergruppen sind und das beweise ich, in dem ich als Untergruppe zM nehme und damit arbeite?
  ─   userf16024 26.11.2022 um 21:01

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Vielleicht Problem ist für dich das die Aussage zu trivial ist, ich meine es folgt ja sofort wenn wir Division mit Rest haben. Man kann den Beweis auch noch allgemeiner führen (euklidischer Ring ist hauptidealbereich). Wir wählen unser m nach Konstruktion so klein, dass jeder Rest 0 wird. Also alle vielefache sind die untergruppe. Sobald wir Möglichkeit haben reste zu messen in natürlichen Zahlen wir können also immer so wählen (das ist die idee von euklidische ring)   ─   mathejean 26.11.2022 um 21:26

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Das Problem ist eher, dass die Aussage nicht verstanden wird. Die Aussage lautet, dass $m\mathbb{Z}$ die EINZIGEN Untergruppen sind. Es geht also nicht darum zu zeigen, DASS sie Untergruppen sind, sondern dass es KEINE ANDEREN Untergruppen gibt. Und deswegen braucht man den Beweis. Es wird hier nämlich gezeigt, dass dann $r=0$ folgt und die Untergruppe somit $m\mathbb{Z}$ ist und keine andere Struktur hat. Und das ist eben nicht trivial.   ─   cauchy 26.11.2022 um 21:36

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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So eine Gruppe kann es nicht geben. Sind 7 und 15 in der Gruppe ist 1 das kleinste Element. Kommst du selber drauf?
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