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Du kannst nicht durch das Summenzeichen teilen.
Es geht viel einfacher: Deine Herleitung gilt für alle z. Daher müssen die Koeffizienten von z^n für alle n identisch sein. Die Koeffizienten in der ersten und in der letzten Summe (über n) geben aber gerade linke und rechte Seite der zu zeigenden Gleichung.
Quelle: wikipedia Dort findet man auch einen einfachen kombinatorischen Beweis.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 32.96K
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Vielen Dank für die Antwort. Nach mehrmaligem Lesen habe ich es leider noch nicht verstanden. Koeffizienten wären doch Zahlen vor dem z. Weiter verstehe ich deine Argumentation nicht mehr. "Die Koeffizienten in der ersten und in der letzten Summe (über n)" Meinst du damit die Summenzeichen in der ersten und letzten Zeile?
─
fantomas
11.01.2021 um 19:03
Das Prinzip, das hier verwendet wird, ist der Koeffizientenvergleich: Wenn \( \sum_n a_n z^n = \sum_n b_n z^n \) ist, dann muss schon \( a_n = b_n \) für alle \(n\) sein. Hier hast du den Fall, dass \( a_n = \begin{pmatrix} r+s \\ n \end{pmatrix} \) und \( b_n = \sum_k \begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ n-k \end{pmatrix} \) ist.
Dass das stimmt, kann man beispielsweise dadurch sehen, dass man die Funktionen mal ableitet und in allen Ableitungen mal \( z=0 \) betrachtet. ─ 42 11.01.2021 um 19:24
Dass das stimmt, kann man beispielsweise dadurch sehen, dass man die Funktionen mal ableitet und in allen Ableitungen mal \( z=0 \) betrachtet. ─ 42 11.01.2021 um 19:24
Ich glaube ich verstehe es jetzt besser. Da die beiden Ausdrücke gleich sind, müssen die beiden Koeffizienten vor z hoch n gleich sein. Und dass diese beiden Ausrücke vor z hoch n gleich sind will ich ja zeigen. Richtig?
Bleibt mir nur eine Frage. Was ist denn mit dem Summenzeichen \( \sum_{n=0}^{r} \ \) in der letzten Zeile. Warum gehört dies nicht zum Koeffizienten.
Und warum stehen denn unter den Summenzeichen in der letzten Zeile ein n und ein k ? In der Zeile zuvor war es doch ein k und ein l.
Sry für diese doch unmathematischen Fragen. Aber ich hoffe mir kann geholfen werden.
─ fantomas 11.01.2021 um 19:40
Bleibt mir nur eine Frage. Was ist denn mit dem Summenzeichen \( \sum_{n=0}^{r} \ \) in der letzten Zeile. Warum gehört dies nicht zum Koeffizienten.
Und warum stehen denn unter den Summenzeichen in der letzten Zeile ein n und ein k ? In der Zeile zuvor war es doch ein k und ein l.
Sry für diese doch unmathematischen Fragen. Aber ich hoffe mir kann geholfen werden.
─ fantomas 11.01.2021 um 19:40
Zur Frage mit dem Summenzeichen: Schau einfach noch mal genauer hin. Wir wollen ja \( \sum_n b_n z^n = \sum_n \sum_k \begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ n-k \end{pmatrix} z^n \) haben.
Zu den Indizes: Hier ergibt es aus ästhetischen Gründen Sinn, die Indizierung zu verändern, damit man den Koeffizientenvergleich besser nachvollziehen kann. Es ist hoffentlich klar: In der vorletzten Zeile geht das \(k\) von \(0\) bis \(r\) und das \(l\) geht von \(0\) bis \(s\), wohingegen in der letzten Zeile das \(n\) von \(0\) bis \(r+s\) und das \(k\) von \(0\) bis \(n\) geht. Die Laufweiten sind also unterschiedlich. ─ 42 11.01.2021 um 20:01
Zu den Indizes: Hier ergibt es aus ästhetischen Gründen Sinn, die Indizierung zu verändern, damit man den Koeffizientenvergleich besser nachvollziehen kann. Es ist hoffentlich klar: In der vorletzten Zeile geht das \(k\) von \(0\) bis \(r\) und das \(l\) geht von \(0\) bis \(s\), wohingegen in der letzten Zeile das \(n\) von \(0\) bis \(r+s\) und das \(k\) von \(0\) bis \(n\) geht. Die Laufweiten sind also unterschiedlich. ─ 42 11.01.2021 um 20:01
Ich glaube ich verstehe es nun besser. Ich bin auch auf diesen Beitrag gestoßen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=34190&post_id=243392
Die einzige Frage die ich mir noch stelle ist: Wieso geht das k in der letzten Zeiel von 0 bis n. In dem Link wird dies ja aufgezeigt. Aber hier gehen die beiden Summenzeichen ja bis Unendlich. Eigentlich geht doch das erste von 0 bis x und das zweite von 0 bis y. Wenn ich das so schreibe kann ich es aber nicht mehr so schön zusammenfassen oder ? ─ fantomas 11.01.2021 um 20:40
Die einzige Frage die ich mir noch stelle ist: Wieso geht das k in der letzten Zeiel von 0 bis n. In dem Link wird dies ja aufgezeigt. Aber hier gehen die beiden Summenzeichen ja bis Unendlich. Eigentlich geht doch das erste von 0 bis x und das zweite von 0 bis y. Wenn ich das so schreibe kann ich es aber nicht mehr so schön zusammenfassen oder ? ─ fantomas 11.01.2021 um 20:40
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.