Tatsächlich kann man jede trigonalisierbare Matrix in Jordannormalform überführen (in beiden Fällen ist die einzige Voraussetzung,  dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt). Trigonalisieren hat aber viele unbefriedigende Eigenschaften und deshalb kannst du dies als Motivation für die Jordansche Normalform sehen. Die Jordansche Normalform ist das beste Resultat, was man allgemein für trigonalisierbare Matrizen erreichen kann.

Trigonalisierbarkeit reicht aber auch für viele wichtige Beweise, z.B. einem  der (oder dem) wichtigsten Sätze: Satz von Cayley-Hamilton. Die Jordannormalform ist aber für Anwendungen in anderen Gebieten der Mathematik sehr wichtig, weshalb diese (leider) in den meisten Lineare Algebra 2 Vorlesungen sehr viel Zeit nimmt, dabei gibt es aus algebraischer Sicht viel bessere und intuitivere Zugänge zur Normalformentheorie,  die in den wenigsten Vorlesungen genutzt werden