Ebene die keine Ebene der Schar ist

Erste Frage Aufrufe: 931     Aktiv: 14.02.2021 um 16:26
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
gegeben:
Ebenenschar: X1+aX2+(2a+1)X3+4=0

Geuscht ist eine Ebene die nicht zur Ebenenschar gehört und die Schnittgerade aller Ebenen der Schar enthält.
(Schnittgerade habe ich bereits berechnet)


Ich dachte man könnte eventuell zunächst einen Punkt suchen der nicht in der Ebenenschar liegt und dann mithilfe des Punktes und der Schnittgeraden eine Ebene aufstellen. Ich weiß jedoch nicht mit welchem Verfahren ich den Punkt, der nicht in der Ebenenschar liegt, finden kann?

Danke schonmal für die Hilfe.
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Die Idee ist doch gut. Wo ist das Problem?   ─   gerdware 13.02.2021 um 17:46
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wenn du für a z.B. 1 einsetzt bekommst du ja die Scharebene: x1 + x2 + 3x3+4=0; änderst du jetzt z.B. die 3 vor x3 auch in 1, so ist diese Ebene kein Teil der Schar. Wenn du jetzt allerdings einen Punkt daraus bestimmst, dann überprüfe, dass er nicht zufällig in einer deiner Scharebenen liegt.
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selbstständig, Punkte: 11.89K

 
Wie kann ich aus der Ebene einen Punkt ablesen? Nur die Spurpunkte oder?   ─   weissvonnix 13.02.2021 um 18:10
du kannst immer zwei Koordinaten festlegen und die dritte dann berechnen.   ─   monimust 13.02.2021 um 18:16
das funktioniert irgendwie nicht, die Ebenen die ich rausbekomme sind alle auch Ebenen der Schar :(   ─   weissvonnix 13.02.2021 um 20:31
nimm mal den Punkt (-1/-2/1) der sollte nicht in einer der Ebenen liegen.
   ─   monimust 13.02.2021 um 20:43
mit dem Punkt (-1/-2/1) funktioniert es. Doch wie bist du auf den Punkt gekommen? Mir gehts ja auch darum die Aufgabe zukünftig auch selbst lösen zu können.   ─   weissvonnix 13.02.2021 um 21:33
Nachdem unsystematisches Punkteinsetzen häufig nicht funktioniert und sehr zeitaufwändig ist, muss man eine Beziehung zwischen x2 und x3 so finden, dass sich die a auflösen und eine unwahre Aussage entsteht. Das gilt hier für -x2=2*x3, x1 ist fast egal, es darf nur nicht x1+x3=-4 gelten   ─   monimust 13.02.2021 um 22:42
super danke, jetzt hab ich es vertanden.   ─   weissvonnix 14.02.2021 um 12:16

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Du kennst ja bereits die Schnittgerade der Ebenenschar (übrigens auch Ebenenbüschel genannt). Wähle also zwei beliebige Ebenen \(E_{a_1}\) und \(E_{a_2}\) der Schar und subtrahiere diese voneinander. Die daraus resultierende Ebene enthält die Schnittgerade (warum ist das so?). Jetzt vergleichst du die Normalenvektoren deiner Ebenenschar mit dem Normalenvektor der neuen Ebene und wählst ihn so, dass dieser von der Form her nicht zur Ebenenschar passt.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Danke für die Antwort.
Ich verstehe nicht ganz warum die Ebenen E1 und E2 subtrahieren? Und wenn ich den Normalenvektor der daraus resultierenden Ebene beliebig anpasse liegt doch die Ebene eventuell nicht mehr in der Schnittgerade bzw. die Schnittgerade nicht mehr in der Ebene?   ─   weissvonnix 13.02.2021 um 22:27
bei mir entsteht durch subtrahieren von den Ebenen der Schar die Ebene X2+2X3=0 . Wenn ich jetzt den Normalenvektor (aX2+b2X3=0) also a und b beliebige Zahlen zuweise enthält die Ebene bei mir nicht mehr die Schnittgerade. Was mach ich falsch?   ─   weissvonnix 14.02.2021 um 12:15
ich habe Ebene1: X1+X2+3X3=-4 von Ebene2: X1+2X2+5X3=-4 abgezogen und somit die Ebene X2+2X3=0 erhalten. Wenn ich jetzt den Normalenvektor der erhaltenen Ebene (0/1/2) verändere z.B. zu (0/3/5) dann enthält die Ebene nicht mehr die Schnittgerade. Wo liegt mein Fehler?   ─   weissvonnix 14.02.2021 um 16:26

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.