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Hallo,
hier ist deine Abbildung umgedreht. Du gehst nun von \( \mathbb{R}^2 \) in den \( \mathcal{P}_1 \). Wie sieht denn die kanonische Basis von \( \mathbb{R}^2 \) aus? Wie sehen die Bilder dieser Basisvektoren aus?
Die Verknüpfung dieser Abbildungen ist dann die Multiplikation dieser beiden Matrizen. Ist das klar wieso die Multiplikation die Komposition beschreibt?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Kanonische Basis ist der Name für eine ganz bestimmte Basis und das ist die Basis
$$ \left\{ \underset{\vec{e}_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}, \underset{\vec{e}_2}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}, \ldots , \underset{\vec{e}_i}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\} $$
Also der \(i\)-te Basisvektoren hat alle Stellen gleich \( 0 \) und die \( i \)-te Stelle gleich \( 1 \).
Man nennt die Basis auch Standardbasis des \( \mathbb{R}^n \).
Die kanonische Basis des \( \mathbb{R}^2 \) ist also
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Jetzt wo ich deine Matrix sehe, verstehe ich endlich warum ihr immer die Namen der Basisvektoren neben Zeilen und Spalten schreibt. In der Zeile von \( m_1 \) ist einfach jeder Koeffizient der vor dem Basisvektor \( m_1 \) vorkommt usw.
Gut ich sehe schon hier unterrichtet der Lehrer nur ein stumpfes Muster zum einsetzen...
Aber schön das du trozdem so interessiert mitarbeitest und nachfragst. So Lehrer/Professoren nehmen einem doch schnell den Spaß.
Nun gut gucken wir uns erstmal nochmal das Bild an. Also das Bild ist einfach die Lösung wenn wir einen Vektor in unsere Abbildung einsetzen.
Nehmen wir einfach mal den Vektor
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} $$
Eingesetzt in \( k \) erhalten wir
$$ k( (1 , -3 )^T) = (3 \cdot 1 + 2 \cdot (-3))m_1 + (-1 + (-3))m_0 = -3m_1 - 4m_0 $$
Nun ist es hier ein kleines bisschen verwirrend, weil wir bis hier hin unsere Variable immer mit \( x \) bezeichnet haben. Das können wir jetzt nicht tun, weil wir den ersten Koeffizienten unseres Vektors bereits mit \( x \) bezeichnen. Also nennen wir unsere Variable doch einfach mal \( t \). Dann ist das Bild des Vektors
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix} $$
unter der Abbildung \( k \) das Polynom
$$ -3t -4 $$
Nun zurück zur Aufgabe: Wir brauchen die Bilder unserer Basis. Die Basis ist die kanonische Basis. Setzen wir diese ein, erhalten wir
$$ k((1,0)^T) = (3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 )m_1 + (-1 + 0)m_0 = 3m_1 -1 m_0 $$
Dies ist bereits die Linearkombination des Bildes bzgl der Vektoren \( m_1 \) und \( m_0 \).
Damit sind die Koeffizienten \( 3 \) und \( -1 \) und wir erhalten die erste Spalte
$$ \begin{pmatrix} 3 & \ \\-1 & \ \end{pmatrix} $$
Das Bild des zweiten Basisvektors ist
$$ k((0,1)^T) = (3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 )m_1 + (-0+1) m_2 = 2m_1 + 1m_0 $$
und wir haben die Koeffizienten \( 2 \) und \( 1 \) und erhalten die Matrix die du auch als Lösung hast :)
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$
So das ist nun die Abbildungsmatrix von \( k \). Wir brauchen aber die Abbildungsmatrix von \( k^{-1} \). Die Abbildungsmatrix von \( k^{-1} \) ist die Inverse Matrix der Abbildungsmatrix von \( k \), also
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} ^{-1} = ? $$
Das die Multiplikation der Komposition (Verknüpfung) entspricht ist eigentlich relativ simpel: Sagen wir wir haben die Abbildung \( f \) und die dazueghörige Abbildungsmatrix \( F \). Zusätzlich haben wir die Abbildung \( g \) und haben die dazugehörige Abbildungsmatrix \( G \).
Wollen wir nun einen Vektor \( \vec{x} \) durch \( f \) abbilden, können wir den Vektor auch mit unserer Matrix multiplizieren
$$ f(\vec{x}) = F \cdot \vec{x} $$
Genauso können wir \( \vec{x} \) durch \( g \) abbilden, indem wir den Vektor mit \( G \) multiplizieren
$$ g(\vec{x}) = G \cdot \vec{x} $$
Bei der Multiplikation von Matrix und Vektor erhalten wir wieder einen Vektor. Wenn wir eine Komposition von zwei Funktionen haben, wenden wir auf das Bild der ersten Abbildung (nennen wir es \( \vec{y} \)) die zweite Abbildung an
$$ (g \circ f)(\vec{x}) = g(f(\vec{x}) = G \cdot F \cdot \vec{x} = G \cdot \vec{y} $$
Bis hier hin klar?
Nun ist die Matrixmultiplikation assoziativ. Das bedeutet, wir dürfen beliebig Klammern setzen
$$ (G \cdot F ) \cdot \vec{x} = G \cdot ( F \cdot \vec{x}) $$
Deshalb können wir auch sofort die beiden Matrizen mutliplizieren um die Komposition zu erhalten
$$ g \cdot f = G \cdot F = H = h(x) = g(f(x)) $$ ─ christian_strack 26.06.2020 um 19:29
$$ \left\{ \underset{\vec{e}_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}, \underset{\vec{e}_2}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}, \ldots , \underset{\vec{e}_i}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\} $$
Also der \(i\)-te Basisvektoren hat alle Stellen gleich \( 0 \) und die \( i \)-te Stelle gleich \( 1 \).
Man nennt die Basis auch Standardbasis des \( \mathbb{R}^n \).
Die kanonische Basis des \( \mathbb{R}^2 \) ist also
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Jetzt wo ich deine Matrix sehe, verstehe ich endlich warum ihr immer die Namen der Basisvektoren neben Zeilen und Spalten schreibt. In der Zeile von \( m_1 \) ist einfach jeder Koeffizient der vor dem Basisvektor \( m_1 \) vorkommt usw.
Gut ich sehe schon hier unterrichtet der Lehrer nur ein stumpfes Muster zum einsetzen...
Aber schön das du trozdem so interessiert mitarbeitest und nachfragst. So Lehrer/Professoren nehmen einem doch schnell den Spaß.
Nun gut gucken wir uns erstmal nochmal das Bild an. Also das Bild ist einfach die Lösung wenn wir einen Vektor in unsere Abbildung einsetzen.
Nehmen wir einfach mal den Vektor
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} $$
Eingesetzt in \( k \) erhalten wir
$$ k( (1 , -3 )^T) = (3 \cdot 1 + 2 \cdot (-3))m_1 + (-1 + (-3))m_0 = -3m_1 - 4m_0 $$
Nun ist es hier ein kleines bisschen verwirrend, weil wir bis hier hin unsere Variable immer mit \( x \) bezeichnet haben. Das können wir jetzt nicht tun, weil wir den ersten Koeffizienten unseres Vektors bereits mit \( x \) bezeichnen. Also nennen wir unsere Variable doch einfach mal \( t \). Dann ist das Bild des Vektors
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \end{pmatrix} $$
unter der Abbildung \( k \) das Polynom
$$ -3t -4 $$
Nun zurück zur Aufgabe: Wir brauchen die Bilder unserer Basis. Die Basis ist die kanonische Basis. Setzen wir diese ein, erhalten wir
$$ k((1,0)^T) = (3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 )m_1 + (-1 + 0)m_0 = 3m_1 -1 m_0 $$
Dies ist bereits die Linearkombination des Bildes bzgl der Vektoren \( m_1 \) und \( m_0 \).
Damit sind die Koeffizienten \( 3 \) und \( -1 \) und wir erhalten die erste Spalte
$$ \begin{pmatrix} 3 & \ \\-1 & \ \end{pmatrix} $$
Das Bild des zweiten Basisvektors ist
$$ k((0,1)^T) = (3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 )m_1 + (-0+1) m_2 = 2m_1 + 1m_0 $$
und wir haben die Koeffizienten \( 2 \) und \( 1 \) und erhalten die Matrix die du auch als Lösung hast :)
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$
So das ist nun die Abbildungsmatrix von \( k \). Wir brauchen aber die Abbildungsmatrix von \( k^{-1} \). Die Abbildungsmatrix von \( k^{-1} \) ist die Inverse Matrix der Abbildungsmatrix von \( k \), also
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} ^{-1} = ? $$
Das die Multiplikation der Komposition (Verknüpfung) entspricht ist eigentlich relativ simpel: Sagen wir wir haben die Abbildung \( f \) und die dazueghörige Abbildungsmatrix \( F \). Zusätzlich haben wir die Abbildung \( g \) und haben die dazugehörige Abbildungsmatrix \( G \).
Wollen wir nun einen Vektor \( \vec{x} \) durch \( f \) abbilden, können wir den Vektor auch mit unserer Matrix multiplizieren
$$ f(\vec{x}) = F \cdot \vec{x} $$
Genauso können wir \( \vec{x} \) durch \( g \) abbilden, indem wir den Vektor mit \( G \) multiplizieren
$$ g(\vec{x}) = G \cdot \vec{x} $$
Bei der Multiplikation von Matrix und Vektor erhalten wir wieder einen Vektor. Wenn wir eine Komposition von zwei Funktionen haben, wenden wir auf das Bild der ersten Abbildung (nennen wir es \( \vec{y} \)) die zweite Abbildung an
$$ (g \circ f)(\vec{x}) = g(f(\vec{x}) = G \cdot F \cdot \vec{x} = G \cdot \vec{y} $$
Bis hier hin klar?
Nun ist die Matrixmultiplikation assoziativ. Das bedeutet, wir dürfen beliebig Klammern setzen
$$ (G \cdot F ) \cdot \vec{x} = G \cdot ( F \cdot \vec{x}) $$
Deshalb können wir auch sofort die beiden Matrizen mutliplizieren um die Komposition zu erhalten
$$ g \cdot f = G \cdot F = H = h(x) = g(f(x)) $$ ─ christian_strack 26.06.2020 um 19:29
Perfekt, das habe ich jetzt alles verstanden. Aber wieso brauchen wir k‾¹, also die Inverse von k. Wo ist das aus der Aufgabe ersichtlich?
─
kamil
27.06.2020 um 10:36
Oh ich habe zwei deiner Aufgaben zusammengeworfen. War nach dem Sonnenbaden wohl doch nicht mehr so konzentriert. Sorry
Dann warst du doch schon fertig. :) ─ christian_strack 27.06.2020 um 14:07
Dann warst du doch schon fertig. :) ─ christian_strack 27.06.2020 um 14:07
ich denke, ich habe die kanonische Basis: e₁=(3x, -x)^T beispielsweise. Was ich nicht verstehe ist, was mit den Bildern gemeint ist. Ich muss ja nichts einsetzen, wie bei der Polynomaufgabe p(1) oder ähnliches, oder? Jedenfalls habe ich dann anstatt der kanonischen Einheitsvektoren ein x und y verwendet, sodass ich die Koeffizienten in die Matrix geschrieben habe. Auf dem Bild sieht man alles am Besten. Dann habe ich die Matritzen multipliziert.
Wie sieht man, dass die Abbildung umgedreht ist? Ich habe z. B. (3x+2y)m₁+(-x+y)m₀ wie in dieser Aufgabe. Muss ich es ausmultiplizieren? Was ist mein x und was mein y bezüglich der Vektorkomponente (x y)^T?
Wieso die Verknüpfung die Multiplikation ist, weiß ich nicht. Aber in der Vorlesung war gesagt worden, dass es so geht. Mit Funktionen kann ich das. Da setzt man die eine in die andere ein. Hier bei Matritzen kann ich mir das nicht so vorstellen.
Jedenfalls denke ich, dass ich die richtige Lösung der Aufgabe habe 😀
─ kamil 26.06.2020 um 11:24