Dann nochmal von vorne etwas anders diesmal.

Wir nehmen an, dass \( \int\limits_{0}^\infty g(x) \) konvergiert und somit endlich ist.

Daraus folgt, da \[g(x) > 0\), dass auch \( \lim\limits_{x \to \infty}g(x) =0\).

 Wegen \( \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)} = M > 0\), daher muss auch \( \lim\limits_{x \to \infty}f(x) =0\) gelten.

Nun können  wir Hôpital anwenden, da \(G(x)=\int\limits_{0}^x g(t) dt\), gilt \(G\prime(x)=g(x).

Also in dem Fall auf \(f\) und \(g\), das liefert uns dann \(\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{F(x)}{G(x)} = M > 0\).

(Normalerweise wendest du Hôpital auf die Ableitung an und weißt dann etwas über die normale Funktion. Hier wenden wir es aber nicht auf die Ableitung an, sondern auf die Ableitungen der Aufleitungen (also die normale Funktion), somit erfagren wir dann etwas über die Aufleitungen, bzw. die konvergenz der Integrale.)

Reicht das bis hier oder benötigst du weitere Hilfe?

Tut mir Leid wenn wir am Anfang etwas aneinander vorbei geredet haben.

s1k

Hallo Joline

Der Beweis ist gar nicht so kompliziert.

Du brauchst zwei Sachen

1) Da das Integral von \( g(x) \) konvergiert wissen wir, dass \( \lim_{x \to \infty} G(x) \) existiert und somit endlich ist.

2) Die Regel von l‘Hopital

Versuch es jetzt nochmal selber.

s1k

Also als erstes nehmen wir an, dass \( \int\limits_{0}^\infty g(x) \) konvergiert und somit endlich ist.

Daraus können wir folgern, dass \( \lim\limits_{x \to \infty} g(x) \) gegen Null konvergiert, da andernfalls das Integral nicht konvergieren würde. D.h. \( \lim\limits_{x \to \infty}g(x) =0\).

Nun wissen wir aber auch, dass \( \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)} = M > 0\).

Und jetzt sollte was bei Hôpital klingeln.

Bei der Rückrichtung gleiches Spiel dann.

s1k