Funktionenfolge berechnen

Aufrufe: 102     Aktiv: 10.06.2021 um 15:12

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Für n ∈ N\(^∗\)  sei f\(_n \) : [0;∞) → R definiert durch f\(_ n\)(x) = \(\frac {1} {n} \) \(\frac {x} {1+x} \) ∀x ∈ [0;∞)
 
Berechne d\(_s\)\(_u \)\(_p\) (f\(_n\), 0)


Könnte mir bitte jemand bei dem Rechen- bzw. Lösungsweg behilflich sein? Ich könnte die momentan wirklich gebrauchen. 


Danke im Voraus 
 
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Punkte: 15

 

Am besten überprüfst du nochmal, ob du die Funktionsgleichung richtig hingeschrieben hast. In der jetzigen Form kommt da nämlich nirgendwo ein n vor und das ist schon ziemlich komisch.   ─   anonym83bed 09.06.2021 um 21:51

Hast recht! Danke für den Hinweis, hab es jetzt korrigiert   ─   userddb9dd 10.06.2021 um 08:58
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Setzt du die Definitionen ein, sollst du $$\sup_{x\in[0,\infty)}\left|\frac1n\frac x{1+x}\right|$$ berechnen. Dafür gibt es jetzt verschiedene Wege, am einfachsten ist zu erkennen, dass man das \(\frac1n\) einfach vor das Supremum ziehen kann und \(\frac x{1+x}=1-\frac1{1+x}\) im angegebenen Intervall stets positiv ist und monoton wächst, das Supremum wird also für \(x\to\infty\) realisiert, mit \(\lim_{x\to\infty}\frac x{1+x}=1\).
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Mich interessiert diese Aufgabe auch gerade als ich sie angeschaut habe und ich hätte noch kurz eine Frage zu deiner Antwort. Gilt dann aberschlussendlich schon dass \(sup_{x\in[0,\infty)}|\frac{1}{n}\frac{x}{1+x}|=\frac{1}{n}\) oder nicht?   ─   karate 10.06.2021 um 09:36

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Genau, die Antowort wäre dann $\frac1n$. Eine vollständige Rechnung wäre $$\sup_{x\in[0,\infty)}\left|\frac1n\frac x{1+x}\right|=\frac1n\sup_{x\in[0,\infty)}\underbrace{\frac x{1+x}}_{\nearrow 1\text{ für }x\to\infty}=\frac1n\cdot 1=\frac1n$$   ─   stal 10.06.2021 um 09:41

Ah okei wunderbar vielen Dank! Du sorry nochmal kurz wie kannst du jeweils \(x\in [0,\infty)\) direkt unter das sup schreiben oder gleich auch mit dem Limes?   ─   karate 10.06.2021 um 09:43

Das funktioniert nur in dem Modus, wenn die Gleichung in einer eigenen Zeile steht, also wenn du die Gleichung mit $\$\$$ links und rechts umgibst. Dann ganz normal mit \sup_{x\in[0,\infty)}. Du kannst übrigens, wenn du Rechtsklick auf eine Formel machst, und dann "Show Math as" > "TeX Commands" auswählst, genau sehen, wie ich die Formel eingegeben habe.   ─   stal 10.06.2021 um 09:50

Wenn du das auch inline haben möchtest, musst du mit \underset arbeiten. \underset{x\to\infty}\lim liefert $\underset{x\to\infty}\lim$, aber dann verändern sich die Zeilenabstände drum herum, was nicht so schön aussieht. Das ist der Grund, warum in Zeilen normalerweise das \(x\to\infty\) einfach in den Index gesetzt wird.   ─   stal 10.06.2021 um 09:52

ah wow super vielen Dank!   ─   karate 10.06.2021 um 10:17

Danke!   ─   userddb9dd 10.06.2021 um 15:12

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