Wie leite ich so eine Funktion ab?

Aufrufe: 602     Aktiv: 08.11.2021 um 17:35
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Die Funktion, die abgeleitet werden soll, lautet: \(f(t)=cos\  \phi(t) \cdot sin\ \psi(t)\).
Ich bin hier echt etwas verwirrt, denn \(\phi(t)\) und \(\psi(t)\) sind für mich zwei verschiedene Variablen. Aus der Schule ist mir aber nur das Ableiten nach einer Variablen bekannt und es würde mich wundern, wenn es für mehrere möglich ist.

Ich stehe hier gerade echt auf dem Schlauch..

(Der Kontext sind übrigens Kugelkoordinaten, aber das tut ja hier nichts zur Sache)

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Student, Punkte: 68

 
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Hallo, ja wahrscheinlich haben $\phi$ und $\psi$ verschiede Werte, aber das spielt keine Rolle, denn wahrscheinlich musst du nach $t$ ableiten und nicht nach $\phi(t)$ oder $\psi(t)$ denn im zweiten Fall könntest du nur partiell ableiten. Ich würde da die Kettenregel verwenden, dafür müsstest du aber wissen, dass $\phi$ und $\psi$ mindestens ein mal diff'bar sind, denn sonst geht das nicht meiner Meinung nach. weisst du das über $\phi$ und $\psi$ ?   ─   karate 07.11.2021 um 20:31
Ne, das weiß ich nicht. Zumindest finde ich spontan keine Information, die mir sagt, dass \(\phi\) und \(\psi\) mindestens einmal diff´bar sind.
Ich kenne jedoch die Ableitung von f(t). Die ist nämlich: \(-\psi´(t) \cdot cos\ \phi(t) \ sin \ \psi(t)-\phi´(t) \ cos \ \psi \ sin \ \phi(t)\).
Vielleicht kann man mir daran erklären, wie man drauf kommt.   ─   mrchucuchucu 07.11.2021 um 20:46
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Ja also mir ist klar wie man auf die Ableitung kommt, denn du musst einfach ganz normal ableiten und $\phi$ und $\psi$ als funktionen betrachten, das heisst $\cos(\phi(t))$ ist eine Komposition, sprich $\cos(\phi(t))'=-sin(\phi(t))\cdot \phi'(t)$ und so weiter. Aber dass $\phi'(t)$ überhaupt Sinn macht, musst du wissen dass $\phi$ mindestens ein mal diff'bar ist, sonst macht dieser Ausdruck kein Sinn und somit ist auch unsere Funktion nicht ableitbar. Verstehst du was ich meine?
   ─   karate 07.11.2021 um 20:49
Okay, super, dann verstehe ich auf jeden Fall, wie man auf die Ableitung kommt. Ich kenne mich mit der Differentialrechnung eigentlich noch überhaupt nicht aus und weiß auch gar nicht, was "mindestens einmal diff´bar" genau bedeutet. Zumindest ist es mir jetzt schonmal der Weg über die Kettenregel klar geworden. Danke!   ─   mrchucuchucu 07.11.2021 um 21:02
Mindestens ein mal differenzierbar heisst, dass mindestens die erste Ableitung der Funktion existiert, also es können auch höhere Ableitungen existieren, aber die erste kann man sicher berechnen.
   ─   karate 07.11.2021 um 21:09
@Karate: Natürlich muss man nach t ableiten und nicht nach Phi oder Psi, denn f ist eine Funktion von t, ebenso wie Phi und Psi. Und wenn letztere nicht differenzierbar wären, würde man auch nicht nach der Ableitung von f fragen. Die Funktionen Phi und Psi modulieren hier die Geschwindigkeit, mit der die Funktionen Sinus und Kosinus "durchlaufen" werden.   ─   mathematinski 08.11.2021 um 07:37
@mathematinski Ich finde aber dass das unglücklich gestellt ist, wenn man nichts über $\phi$ respektive $\psi$ weiss, denn mathematisch gesehen darf man nicht einfach annehmen dass diese beiden Funktionen diff'bar sind nur weil danach gefragt ist, dann löst man meiner Ansicht nach die Aufgabe nicht total korrekt, denn dieser Fall kann eintreten.   ─   karate 08.11.2021 um 07:47
@Karate. Das sehe ich anders. Eine solche Betrachtung macht man doch nur, wenn es genau darum geht, die Differenzierbarkeit ansich zu untersuchen. Das ist hier aber ganz offensichtlich nicht der Fall und insofern darf man die Differenzierbarkeit voraussetzen, da die gestellte Aufgabe ja völlig sinnlos wäre.   ─   mathematinski 08.11.2021 um 13:31
@mathematinski ja das ist schon Ansichtssache, hast recht.   ─   karate 08.11.2021 um 15:35
Wollte ich ja auch gar nicht :-)   ─   mathematinski 08.11.2021 um 17:35
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Hallo!

Wie kommst du auf die von dir angegebene Ableitung? Die ist falsch. Du hast die Kettenregel nicht korrekt angewendet. Die Ableitung von cosϕ(t) ist -ϕ'(t)*sinϕ(t) und die von sinψ(t) ist ψ'(t)*cosψ(t). Die Ableitung lautet insgesamt somit:

−ϕ‘(t)*sinϕ(t)*sinψ(t) + ψ‘(t)*cosϕ(t)*cosψ(t)

Gruß, Ruben
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Ja, das stimmt, ich bin bei der Ableitung irgendwie in der Zeile verrutscht. Die von mir angegebene Ableitung müsste die zu: \(cos \ \phi (t) \ cos \ \psi (t) \) sein.
Danke für die Korrektur.   ─   mrchucuchucu 08.11.2021 um 10:29

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