Produkt Sigma Algebren

Aufrufe: 773     Aktiv: 10.03.2021 um 08:02

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Ich kann mir die obig definierten Rechteckmengen nicht so wirklich vorstellen. Kann mir jemand weiterhelfen?
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Student, Punkte: 254

 
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Lass mich mit einer meiner Meinung nach etwas ausführlicheren, äquivalenten Definition beginnen und Dir danach die Erklärung liefern.

Seien \( (\Omega_1, \mathcal{A}_1), (\Omega_2, \mathcal{A}_2), ..., (\Omega_n, \mathcal{A}_n) \) Messräume. Dann heißt die kleinste \( \sigma \)-Mengenalgebra auf \(  \times_{i = 1}^n \Omega_i \), die alle Mengen der Form \( A_1 \times A_2 \times ... \times A_n \) mit \( A_i \in \mathcal{A}_i \) für alle \( i = 1, 2, ..., n \) enthält, die Produkt-\( \sigma \)-Mengenalgebra der \( \mathcal{A}_i \) und wird mit \( \bigotimes_{i = 1}^n \mathcal{A}_i \) bezeichnet. 

Da es sich hier also um Messräume handelt, ist der Begriff 'Rechteck' in deiner Definition nicht unbedingt korrekt. Allerdings kann man es mit Rechtecken sehr anschaulich darstellen. Wenn Du nämlich zwei Intervalle \( A_1, A_2 \subseteq \mathbb{R} \) hast, kannst Du das Intervall \( A_1 \) auf der x-Achse und das Intervall \( A_2 \) auf der y-Achse eines Koordinatensystems eintragen. Das gemeinte Rechteck ist dann das Rechteck, dass zwischen \( A_1 \) und \( A_2 \) gezeichnet werden kann (gemeint ist das Rechteck mit x-Koordinaten aus \( A_1 \) und y-Koordinaten aus \( A_2 \)). Wenn Du noch eine weiteres Intervall \( A_3 \subseteq \mathbb{R} \) hinzunimmst, kannst Du dieses auf der z-Achse eintragen und erhälst dann einen Würfel. Das Ganze lässt sich dann auf beliebig viele Intervalle mit entsprechenden Hyperrechtecken erweitern. 

Außerdem kennst Du ja vermutlich die durch das \( n \)-dimensionale Lebesgue-Maß definierte Borel-\( \sigma \)-Mengenalgebra \( \mathbb{B}(\mathbb{R}^n) \). Dabei handelt es sich auch um eine Produkt-\( \sigma \)-Mengenalgebra. Es ist nämlich das Produkt aus \( n \) Exemplaren von \( \mathbb{B}(\mathbb{R}) \).
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Danke :)   ─   finn2000 10.03.2021 um 08:02

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