Würfelwahrscheinlichkeiten

Aufrufe: 104     Aktiv: 30.11.2021 um 22:32

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Wenn ich 4 faire, identische Würfel habe und die hintereinander werfe, wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit: 

1. mindestens 3 mal die selbe Zahl fällt

2. genau 3 mal die selbe Zahl fällt. 

1. mein Rechenweg: \( (\frac{1}{6})^2 * 4 = \frac{1}{9}\)

2. \(1*(\frac{1}{6})^2 * (\frac{5}{6})*4 = \frac{5}{54} \)
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Leider kann ich deinen Rechenweg noch nicht so ganz nachvollziehen, was du dir dabei gedacht hast. Ich würde mir überlegen, wieviel Möglichkeiten es überhaupt gibt, 4 Würfel zu kombinieren und dann die günstigen Möglichkeiten aufschreiben.

2. genau 3 mal die selbe Zahl
1. das ist 2. + 4 mal die selbe Zahl
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1. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Würfel eine Zahl fällt, wär ja 1, weil es darf ja jede Zahl drankommen. Beim 2. und 3. Würfel ist die Wahrscheinlichkeit 1/6, weil nur mehr 1 Zahl drankommen darf und beim 4. Würfel darf ja wieder jede Zahl fallen, also wieder eine Wahrscheinlichkeit von 1. Das Ganze mal 4, weil es mehrere Kombinationen von 3 gleichen Zahlen gibt. Z.B. 1 1 1 3 oder 2 1 1 1   ─   universeller 30.11.2021 um 19:40

Beim 4. Würfel darf nicht mehr jede Zahl kommen.
Ich habe mir das über die Kombinationen überlegt, dabei bekomme ich dann etwas anderes raus. Insgesamt hast du $6^4=1296$ Möglichkeiten, wie die Würfel fallen können. Jetzt soll 3 mal die selbe Zahl kommen. Also z.B. 1, 1, 1, 2. Das Ganze geht 5 mal (2, 3, 4, 5 und 6) als letzte Zahl. Die andere Zahl kann aber auch im 1., 2. oder 3. Wurf kommen, also 4 * 5 Möglichkeiten. Das Ganze jetzt noch für alle 6 Würfelaugen, ergibt 4 * 5 * 6 Möglichkeiten. Damit komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{120}{1296}=\frac{15}{162}$.
  ─   lernspass 30.11.2021 um 19:52

Jetzt habe ich es, wie deine Überlegung auch funktioniert und zum selben Ergebnis wie bei mir führt. Wie schon geschrieben, darf beim 4. Würfel nicht mehr jede Zahl kommen, die Zahl muss anders sein. Setzt da mal die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$ für ein. Dann hast du das selbe Ergebnis wie ich. $\frac{5}{54}$   ─   lernspass 30.11.2021 um 19:56

Das ist ja auch genau das, was bei 2. rauskommt und was er auch raus hat... Für 2. ist die Argumentation also vollkommen in Ordnung.   ─   cauchy 30.11.2021 um 19:56

@cauchy Stimmt. War mir aus dem Bild gescrollt, sonst hätte ich das gesehen.   ─   lernspass 30.11.2021 um 19:59

1. stimmt aber auch.   ─   cauchy 30.11.2021 um 20:01

@cauchy Ja den Moment habe ich das nachgerechnet. Aber seinen Rechenweg verstehe ich immer noch nicht.   ─   lernspass 30.11.2021 um 20:05

Den ersten Würfel kann man ignorieren, da egal ist, welche Zahl fällt. Damit mindestens drei Gleiche Zahlen erscheinen, sind der zweite und dritte Wurf beispielsweise fest vorgegeben. Für den letzten Wurf ist die Zahl dann wieder irrelevant. Jetzt gibt es aber insgesamt 4 Möglichkeiten für die letzten 3 Würfel: nämlich, dass die andere Augenzahl bei Wurf 2, 3, 4 oder gar nicht erscheint. Letzteres wäre dann der Fall, dass alle Zahlen gleich sind.   ─   cauchy 30.11.2021 um 20:08

Ich hätte jetzt einfach 2. genommen und dann noch die Wahrscheinlichkeit für 4 Gleiche dazu gerechnet. Dann kommt dabei aber weniger raus?   ─   lernspass 30.11.2021 um 20:23

Also sind meine 2 Rechenwege korrekt?   ─   universeller 30.11.2021 um 20:24

Dann wär bei der 1. die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 gleiche Zahlen fallen: \(\frac{1}{9}/(6^4)=\frac{1}{11664} \)   ─   universeller 30.11.2021 um 20:38

Öhm... ja, irgendwas hab ich übersehen. Sind ja dann $\frac{126}{1296}$. Keine Ahnung, wieso ich jetzt hier auf $\frac{144}{1296}$ gekommen bin. Habe wohl aus Versehen die 4 zusätzlichen Kombinationen noch mal 4 genommen.

Der erste Rechenweg passt dann nicht.
  ─   cauchy 30.11.2021 um 20:39

Aber du kannst dann die Wahrscheinlichkeit von 2. nehmen und noch die Wahrscheinlichkeit für 4 Gleiche, das ist $\frac{6}{1296}$, dazu rechnen. Wo der Denkfehler bei deinem Weg liegt, habe ich noch nicht raus.   ─   lernspass 30.11.2021 um 21:34

Ja, ich hatte die 6 zusätzlichen Möglichkeiten noch mal 4 gerechnet... Warum auch immer. :D   ─   cauchy 30.11.2021 um 21:37

Kommt wahrscheinlich daher, wenn man eine Lösung gegeben hat, die an sich plausible ist, aber leider nicht stimmt. Man hat ja $1\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6} \cdot 4 + 1\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}$ und das läßt sich dann nicht zusammenfassen.   ─   lernspass 30.11.2021 um 21:47

Nochmal zum Verständnis: wenn ich 5 Würfel hätte, bei denen mindesten 4 die gleiche Augenzahl hätten, ginge die Rechnung so: \(\frac{6*5*5}{6^5} + \frac{6}{6^5}\)?   ─   universeller 30.11.2021 um 21:58

Sieht gut aus.   ─   lernspass 30.11.2021 um 22:17

Gut, danke euch :)   ─   universeller 30.11.2021 um 22:32

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