Kurze Antwort, falls noch Interesse besteht.
1. Idee ist, zu zeigen, dass alle mit c zusammenhängenden x-Werte (das wäre U) denselben Funktionswert haben (eben f(c)). Man def. also erstmal M als die Menge der x, die den "richtigen" Funktionswert haben.
Grundsätzlicher Hinweis zu Beweisen: Es gibt sicherlich auch andere Wege das zu beweisen, das ist nur EIN Beweis. Nicht DER Beweis.
2. In U gibt es nur zwei Teilmengen, die gleichzeitig offen UND abgeschlossen sind, nämlich die leere Menge und U. Das ist generell so. Die Urbilder stetiger Abbildungen (hier f) sind stets wieder abgeschlossen, also ist U als Urbild von $\{f(c)\}$ das auch.
3. Lies genau: Es wird nicht gezeigt, dass B(x) konstant ist. B(x) ist ja auch eine Menge. f soll auf B konstant sein, siehe unser Ziel in 1. Beachte: Bei Beweisen ist der Grund oft: "weil's am Ende passend rauskommt". Man findet einen Beweis selbst durch Basteln/Probieren/Herumspielen, aufschreiben tut man ihn aber anders herum als man ihn gefunden hat.
4. Siehe 1. Der "richtige" Funktionswert überträgt sich über den Zusammenhang (d.h. eine verbindende Kurve im Defbereich). Die Strecke: weil Mathematik immer den einfachsten Weg sucht, und in einer Kugel geht das ja mit der Strecke, also nimmt man die. Natürlich hat man die Kugel gewählt, WEIL die Strecke drin liegt (siehe die Bemerkung "Beachte" in 3.)
5. h ist konstant, weil h'(t)=0 ist (das ist der Satz aus der Schulmathematik, dessen Verallgemeinerung der Satz aus der Aufgabenstellung ist). f(x)=f(y): Durch Ausrechnen.

Bei Rückfragen melde Dich, frage dann KONKRET nach. Z.B. die Frage "warum..." ist nicht sinnvoll, wenn im Beweis ja schon steht "weil...". Setze Dich mit jedem Detail des Beweises und dieser Antwort auseinander.