Trigonometrische Gleichung lösen

Aufrufe: 62     Aktiv: 19.06.2021 um 23:46

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Hallo zusammen,

die Aufgabe war wie folgt: Bestimmen Sie x für 0 ≤ x  ≤  2 .
cos(x)=0,8

Ich habe das so gerechnet:
cos^-1(0,8)=x
0,64=x 
In der Lösung im Buch steht aber auch noch 5,64 als zweite Lösung. Wie kommt man darauf?

Bei dieser Aufgabe genau gleich: Berechnen sie.
2sin( x-1)=0,5 für x ∈ [-1; 3]

ich habe gerechnet:
2sin( x-1)=0,5    I/2
sin( x-1)=0,25

Substitution:  x-1=z
sin(z)=0,25    I sin^-1
z1=0,25
z2= -0,25=2,9

Resubstitution
 x-1=0,25   I+1
 x=1,25      I/ 
x1=0,4

 x-1=2,9   I+1
 x=3,9      I/ 
x2=1,25

In der Lösung vom Buch steht jetzt zwar auch wieder mein Ergebnis aber zusätzlich noch -0,75 und 2,4 als weitere Lösungen. Wie kommt man darauf?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe




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Schüler, Punkte: 21

 

Entschuldigung für die verkorkste Darstellung. Eigentlich sollte es so aussehen wie auf dem letzten nachträglich eingefügten Bild.   ─   osasasas 19.06.2021 um 18:03
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2 Antworten
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Der TR liefert immer nur einen Wert. Wegen des "wellenförmigen  Verlaufs trigonometrischer Kurven gibt es (außer  bei Extrempunkten) immer 2 Stellen innerhalb einer Periode mit dem gleichen Funktionswert. 

dabei gilt  \( sin ( x_2) = sin (\pi-x_1)\)
und            \( cos (x_2) = cos (2\pi-x_1)\)

Das kann mann sich anhand  der Kurvenverläufe oder am Einheitskreis klar machen 

Zusätzlich können diese x-Werte dann auch noch in weitere Perioden, je nach Definitionsbereich, übertragen werden, wie in der Antwort oben beschrieben.
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selbstständig, Punkte: 7.82K

 

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Hi!
Zum ersten: Dein Buch scheint seine eigenen Aufgaben nicht richtig zu lesen, denn \( 5,64\notin [0;2] \).
Zum zweiten: Du musst beachten, dass trigonometrische Funktionen einen periodischen Verlauf haben, sich also mit einer bestimmten Periode wiederholen, quasi copy + paste. Und damit wiederholen sich auch die Stellen, an denen deine Funktion einen bestimmten Wert annimmt, mit dieser Periode.
Sieh dir die Funktionen mal bei Geogebra an, da siehst du es auch. Um also nun alle gessuchten Stellen im Intervall zu berechnen, musst du die Periode kennen, mit der deine Funktion schwingt. Die Periode einer Funktion wird durch den Faktor direkt vor dem \( x \) bestimmt, hier also \( \pi \), aber um es etwas allgemeiner zu sagen, nehmen wir \( b \). Für die Periodendauer gilt: \( T = \frac{2\pi}{b} \)
Dadurch erhältst du also für \( b=1\) die normale Schwingungsdauer von \( T=2\pi \). Hier ist \( b=\pi \), also ist dann \( T=2\), wie du auch am Graphen siehst. Hast du also eine bestimmte Stelle \( x\) der Funktion bestimmt, dann haben alle Stellen \( x+k\cdot T\) mit \( k\in\mathbb{Z}\) exakt dieselben Eigenschaften.
Um also auf alle Ergebnisse zu kommen, musst du schauen, für welche Verschiebungen in x-Richtung um ganzzahlige Vielfache der Periodenlänge du noch Werte im gesuchten Intervall hast.



Hoffentlich konnte ich dir weiterhelfen!
LG Lunendlich :)
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Schüler, Punkte: 500

 

Vielen Dank für die Erklärung. Ja klar die Periodizität hab ich ganz vergessen. Jetzt hat's Klick gemacht. Bei der ersten Aufgabe sollte das Intervall [0;2pi] sein und dann wäre die 5,64 noch drin. Aber jetzt ist mir klar wie man auch da drauf kommt. Bei cos^-1(0,8) kommt ja 0,64 und auch noch -0,64 raus. Und wenn man dann die -0,64 plus die Periode 2pi rechnet kommt man eben auf die 5,64.   ─   osasasas 19.06.2021 um 23:11

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