Als erstes solltest du die Mittelpunkte beider Kugeln bestimmen, also die richtigen Werte von \(r\) in deiner Geraden. Du musst also zwei Punkte auf der Geraden finden, die den Abstand \(4\) von \(E\) haben. Bringe die Ebene dazu in Hesse-Normalform, setze deine Geradengleichung für \(\vec X\) ein und setze gleich \(\pm4\). Dadurch erhälst du die zwei Werte von \(r\) und damit die zwei Mittelpunkte. Die Berührpunkte erhälst du dann, indem du die Lotgeraden der Mittelpunkte auf die Ebene mit der Ebene schneidest.

Welche Kenntnisse hast Du denn? Kennst Du die Hessesche Normalform? Die würde ich für Deine Ebene aufstellen; außerdem muß die Parameterform der Gerade berechnet werden. Setzt man letzere in die Hessesche Normalform ein, dann können die beiden Werte des Parameters in der Geradengleichung berechnet werden, die zu den gesuchten Kugelmittelpunkten gehören. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, liegen die Mittelpunkte bei \(M_1(3;6;4)\) und \(M_2(-1;-2;0) \).

Die Abstandsformel lautet \(d=\pm (1/3) (2x_1+x_2+2x_3-8) \). Hier setzt Du die Geradengleichung ein und bestimmst den freien Parameter. Seine Werte in die Geradengleichung eingesetzt ergeben die Mittelpunkte.

Vielleicht geht das alles auch anders, aber so würde ich es machen.