Surjektiv injektiv bijektiv von R auf R^2

Aufrufe: 195     Aktiv: 11.04.2022 um 11:54

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Hallo zusammen, 
ich bin bei Aufgabe c) etwas überfordert. Ich weiß wie man injektivität, surjektivität und bijektivität beweist von R auf R, also wenn sowohl defintionsmenge als auch Wertemenge eindimensional sind. Bei der surjektivität muss ich f(x) = y zeigen. Wie soll ich denn jetzt y aufschreiben ? Soll ich y als Vektor (y,y) schreiben? (y soll natürlich übereinander stehen , ich weiß nur nicht wie ich das hier aufm Computer aufschreiben soll). Sollte ich die Zeilen der Vektoren dann als jeweils eine Gleichung aufschreiben, sodass ich dann 2 Gleichungen hätte (für die jeweils 2 zeilen). Mit eventuell 2 verschiedenen Ergebnissen. Welchen der beiden ausgerechneten Werte sollte ich dann für x einsetzen um f(x) = y zu zeigen.

das gleiche Problem habe ich auch bei der injektivität. Wie schreibt man sowas auf ? als zwei Gleichungen untereinander?

Das Problem ist hier wie gesagt das zweidimensionale und nicht die Definitionen. Ich weiß leider nicht weiter und finde auch nirgends eine Antwort 

MfG

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Student, Punkte: 68

 

Machst du lineare Algebra? Kennst du die Dimensionsformel für lineare Abbildungen?   ─   mathejean 10.04.2022 um 12:51
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Das Problem ist nicht das 2d, sondern dass Du die Begriffe noch nicht verstanden hast. Obwohl Dir gerade jemand mit viel Geduld und Mühe b) erklärt hat.
Du musst nicht f(x)=y zeigen, sondern dass es zu jedem y aus dem Wertebereich ein x aus dem Defbereich gibt mit f(x)=y (falls f surjektiv ist). Der Text um das f(x)=y herum ist keine unnötige Deko, sondern wesentlich zum Verständnis. Es ist völlig egal, ob x und y oder u und v, oder Menschen und ihr Gewicht oder was auch immer. Oder auch Menschen und ihr Gewicht/Körpergröße (das wäre 2d). Erst wenn Dich das nicht ins Schleudern bringt, hast Du es verstanden.
Fang also an mit einem beliebigen Objekt aus dem Wertebereich.
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Lehrer/Professor, Punkte: 24.02K

 

Ich habe jetzt fast alles verstanden. Ich muss f (x1,y1) = f(x2,y2) => x1=x2 und y1=y2 zeigen. So habe ich definiert
x1= x1+3 und x2=x2+3 Hier muss ich einfach -3 rechnen und bekomme x1=x2 raus

Mein Problem ist es die unteren (y werte) zu definieren, habe es so gemacht:
y1=2*x1+1 und y2=2*x2+1

Dann müsste ich -1 und geteilt durch 2 rechnen. Dann bekomme ich y1=y2
Ist das so richtig, ich bin mir da unsicher.
  ─   mbstudi 10.04.2022 um 12:52

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Nein, das stimmt nicht. Zum einen ist $f$ überhaupt nicht so definiert, zum Anderen ist dein "surjektiv bedeutet $f(x) =y$" völlig falsch. Du musst mit der richtigen Definition arbeiten.   ─   zest 10.04.2022 um 12:56

Ich habe vergessen zu erwähnen, dass das mein injektiv war   ─   mbstudi 10.04.2022 um 13:24

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Die Definition zur Injektivität stimmt zwar, aber du kannst $f$ trotzdem nicht so definieren. Du musst zeigen dass $$f(x) = f(y) \implies x = y$$ wobei $x,y\in \mathbb R$ reelle Zahlen sind. Du musst zunächst ein "vernünftiges" $f\colon \mathbb R\to \mathbb R^2, x\mapsto (f_1(x),\ f_2(x))^\top$ definieren und anschließend argumentieren, ob dein selbst gewähltes $f$ injektiv ist oder nicht.   ─   zest 10.04.2022 um 13:32

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Ich nehme an, wir reden aktuell über g (weil es ja in der Aufgabe kein f gibt).
Ja, das wäre prinzipiell ein richtiger Ansatz für injektiv, aber eben nicht für dieses g. Klär doch erstmal, was Def- und Wertebereich sind.
  ─   mikn 10.04.2022 um 13:34

Für surjektiv habe ich es so verstanden. Man wähle ein beliebig y=(u,v) Element aus den reellen Zahlen . Da zu zeigen ist, dass f surjektiv ist, muss es folglich ein passendes x=(z,w) geben, sodass f( x)= y rauskommt.
f(z,w)=(u,v) => z+3 = u und 2w+1=v . Somit ist z=u-3 und w= w/2 - 1/2 .
Setzt man nun diese ausgerechnet Werte ein erhält man: f(u-3, w/2 - 1/2) = (u-3+3 , 2*(w/2 - 1/2)) = (u,w)
Die Abbildung wäre somit surjektiv und (wie vorher bewiesen) auch injektiv und somit bijektiv. Ist das so richtig ?
  ─   mbstudi 10.04.2022 um 13:40

Ja ich meinte natürlich g und nicht f. Def. Bereich sind alle reellen Zahlen aus R (eindimensional) und Wertebereich sind alle reellen Zahlen aus R^2 (zweidimensional). Zur surjektivität: für alle y Element aus dem Wertebereich (R^2) existiert ein x Element aus dem definitionsbereich (R), sodass gilt: f(x)=y . Also muss der Ansatz in meinem Beispiel bedeuten: f(x)= (x1,y1) . Definiert mit: x1=x+3 und y1=2*x+1. Wenn ich jetzt beides nach x umstelle, erhalte ich einmal x=x1-3 und x=y1 /2 - 1/2. jetzt bekomme ich zwei verschiedene Werte für x raus und ich weiß jetzt nicht wie ich diese einsetzen soll (da es ja zwei verschiedene sind). Soll ich sie jeweils einzelne einsetzen? Dann würden f(x) ungleich y (bzw. (x1,y1)) sein und somit nicht surjektiv? Ist das so richtig ?   ─   mbstudi 10.04.2022 um 13:53

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Es funktioniert alles nicht, wenn Du nicht vorher Def- und Wertebereich klärst.   ─   mikn 10.04.2022 um 13:55

Für injektivität gelten die selben definitions- und Wertebereiche. Für alle x1,x2 Elemente aus dem definitionsbereich (R) gilt : f(x1) = f(x2) => x1=x2. Dies würde bedeuteten : x1+3 = x2 +3 (-3 und man erhält x1=x2) und 2*x1+1= 2*x2+1 (-1 und geteilt durch 2 und man erhält x1=x2). Dies würde bedeuten, dass diese Funktion g injektiv ist. Sie ist somit insgesamt nur injektiv, aber nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv. Ist das so richtig ?   ─   mbstudi 10.04.2022 um 13:59

mikn ich bin leider überfordert. Ich habe doch ein x Element aus dem Definitionsbereich (R) genommen und ein y Element aus dem Wertebereich (R^2) genommen. Könntest du mir bitte genauer erklären, was du genau meinst mit „ def - und Wertebereich klären“?   ─   mbstudi 10.04.2022 um 14:02

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Ja, jetzt hast Du es gemacht. Mein Kommentar bezog sich auf Dein "Für surjektiv habe ich es so verstanden..." - da hast Du es nicht gemacht (und vorher mehrmals auch nicht). Man kann sich eine Menge Zeit und Nerven sparen, wenn man bei Funktionen als erstes klärt, über welche Objekte man überhaupt redet.
Dein Beweis für injektiv ist richtig.
Für surjektiv: Denke das nochmal durch, In meiner Antwort oben steht die Def. von surjektiv, die fängt an mit "zu jedem". Wenn g also surjektiv ist, muss es für jedes klappen. Wenn es für ein Objekt aus dem Wertetbereich nicht klappt, ist g nicht surjektiv Wenn Du also meinst, dass g nicht surjektiv ist, gibt EIN KONKRETES Beispiel (Zahlen!), das die Bedingung verletzt.
  ─   mikn 10.04.2022 um 14:16

Das habe ich gemacht. Davor hätte ich noch eine Frage: ist es richtig, dass ich bei surjektivität dann jeweils beide x werte nacheinander einzelne einsetze und dann gucke ob (y,y) rauskommt? Zum Beispiel; ich habe y=1 gesetzt. Für das erste x = -2 (y=x-3) habe ich (1, -3) raus anstatt (1,1). Für das zweite x = 0 (1=2*x+1) habe ich (3,1) raus anstatt (1,1) . Somit wurde anhand des Beispiels gezeigt, dass g(x) nicht surjektiv ist. Ist das so richtig ?   ─   mbstudi 10.04.2022 um 17:16

$f$ respektive $g$ ist genau dann _nicht_ surjektiv, wenn ein $(x_1,x_2)\in \mathbb R^2$ existiert, das kein Urbild in $\mathbb R$ besitzt, d.h. dessen Urbildmenge leer ist. Oder mit anderen Worten: das nicht im Bild von $f$ bzw. $g$ liegt.   ─   zest 10.04.2022 um 18:12

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Die Widerlegung von surjektiv beginnt mit der Angabe eines Objekts aus dem Wertebereich. Das solltest Du KONKRET als erstes benennen. Danach weist Du nach, dass dieses nicht als Funktionswert angenommen wird.   ─   mikn 10.04.2022 um 18:34

Habe dies gerade getan. Ich habe y(1,1) als Beispiel genommen. g(x)=y somit muss g(x)= (1,1) sein. Hab es ausgerechnet und die x Werte -2 und 0 bekommen. Die Faser von (1,1) ist die leere Menge (da zwei Werte für x rauskommen). Ich kann jeweils einen der x Werte in die Funktion einsetzen, doch ich bekomme nicht meinen y Wert (1,1) raus. Somit habe ich gezeigt, dass die funktion nicht surjektiv ist. Ist das richtig jetzt ?   ─   mbstudi 10.04.2022 um 21:54

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Man hätte auch einfach mit Hilfe der vorherigen Aufgabe argumentieren können, aber passt. Was soll y(1,1) heißen? Bitte achte unbedingt sehr genau auf die mathematische Notation und fang nicht an, dir da irgendwas zusammenzuwurschteln.   ─   cauchy 10.04.2022 um 21:58

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Ja, von mir auch nochmal: jetzt alles richtig. Ansonsten wie cauchy gerade vorher sagte: Du ersparst Dir eine Menge Zeit, wenn Du von Anfang an auf die Details achtest. Intuition ist eine tolle Sache, aber nicht bei der Lösung von Mathe-Aufgaben.   ─   mikn 10.04.2022 um 22:36

Vielen Dank an alle hab es verstanden   ─   mbstudi 11.04.2022 um 09:29

Wenn alles geklärt ist, bitte als beantwortet abhaken (grüner Haken), damit wir den Überblick behalten.
  ─   mikn 11.04.2022 um 11:53

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