Strecke soll senkrecht zum Richtungsvektor zweier Geraden stehen

Aufrufe: 866     Aktiv: 19.12.2020 um 08:42
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Hallo,

Ich bräuchte bei 1 b kurz Hilfe.

Gegeben waren ja zwei Geraden, deren Richtungsvektoren laut Skalarprodukt auch senkrecht aufeinander stehen.(ergibt ja 0)

Nun soll ich zwei Parameter s und t bestimmen, damit die Strecke wiederum senkrecht zum Richtungsvektor ist. Ich verstehe nicht genau, wie ich das machen soll? Aus Aufgabe c lässt sich ja schließen, dass ich lediglich  zwei neue Vektoren bilden soll...aber so richtig komme ich nicht dahinter. 

Ist bestimmt nicht so schwer wie gedacht, aber ich steh gerade auf dem Schlauch. :)

Vielleicht kann mir jemand helfen?

LG Nathi

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sagt dir der Hinweis Kreuzprodukt etwas

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Der entstehende Vektor würde senkrecht auf beiden Vektoren stehen.   ─   luni09 18.12.2020 um 14:15

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Hallo :-) Ich finde, dass Aufgabe c) etwas seltsam formuliert ist. Ich gehe davon aus, dass die "Differenz der beiden parameterabhängigen Vektoren" eine Differenz aus \(\left(\begin{array}{c}8\\0\\0\end{array}\right) +s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\) und \(\left(\begin{array}{c}0\\-6\\0\end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\) ist. Diese wäre dann z.B.: \(\left(\begin{array}{c}-s+t-8\\s+t-6\\t\end{array}\right) \).

So ... wenn nun s und t so gewählt werden, dass dieser Vektor senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden ist, dann beschreibt die Länge dieses Vektors den Abstand der beiden Geraden. Und die Vorarbeit dazu ist in Aufgabe b gefordert. Nämlich die Parameter entsprechend zu bestimmen. 

Ich würde hier nicht mit dem Kreuzprodukt arbeiten. Sondern jeweils das Skalarprodukt des "Differenzvektors", also der Strecke zwischen den Geraden, mit den beiden Richtungsvektoren. Das dürften dann die Gleichungen sein, die s und t erfüllen sollen. 

Nachvollziehbar? :-)

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Ich versteh es noch nicht wirklich. Meinst du das ich die Differenz der Ortsvektoren bilden müsste und diesen "Differenzvektor" jeweils mit den Richtungsvektoren multiplizieren muss?   ─   luni09 18.12.2020 um 15:56
Nein, nicht die Differenz der Ortsvektoren, sondern quasi die Differenz der ganzen Geraden. Es geht ja um die Strecke von einer Geraden zur anderen. Also vom allgemeinen Punkt (8+s / -s / 0) der einen Geraden zum allgemeinen Punkt (t / -6+t / t) der anderen Geraden. Der Vektor aus diesen beiden Punkten ist zu bilden. Dieser Vektor soll dann zu den Richtungsvektoren rechtwinklig sein.
@cauchy: Ich habe beide Varianten probiert und empfand die mit dem Kreuzprodukt als umständlicher. Zumal ja das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ja nicht gleich dem "Differenzvektor" ist, sondern "nur" ein Vielfaches davon. Also kommt ja noch ein Parameter ins Spiel. Wenn ich nichts übersehen habe ... ? :-)   ─   andima 18.12.2020 um 16:07
Ich hätte für t=2 und für s=3 raus ?   ─   luni09 18.12.2020 um 16:26
@ cauchy: Ich bestreite ja nicht, dass es nicht auch mit dem Kreuzprodukt gut funktioniert, aber die Gleichungen, die sich über das Skalarprodukt ergeben, sind recht einfach. :-) Einfach zur Kontrolle, dass ich nicht auf dem völligen Holzweg bin ... was erhältst du für Lösungen?
@ nathaliseiss: Ich habe s=-1 und t=14/3   ─   andima 18.12.2020 um 16:30
Danke @mikn! Wollte gerade nochmals ausführlich dazu schreiben. Das Problem bei der Kreuzproduktgeschichte ist eben, dass das Kreuzprodukt nicht gleich dem Diffvektor ist, sondern nur ein Vielfaches davon.   ─   andima 18.12.2020 um 16:59
@andima, @mikn & @cauchy: Vielen Dank für eure Hilfe! Ich hab nochmal alles durchgerechnet und bin mit dem Skalarprodukt auf die Lösung von @andima gekommen. Ich habe jetzt auch verstanden, was du meinst :)   ─   luni09 18.12.2020 um 17:05
Wunderbar :-)   ─   andima 18.12.2020 um 17:09

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Immerhin haben wir festgestellt, dass es mindestens 2 Lösungen für die Aufgabe gibt. Ich rechne mal beide Varianten durch.
Variante 1(wie von @andima vorgeschlagen):
Differenzvektor  \( \vec d=\vec a - \vec b = \begin {pmatrix} -s +t -8\\ +s +t -6\\t \end {pmatrix} \) ; Skalarprodukt mit Richtungsvektor  von \(\vec a\) muss 0 sein:
also \( (1*(-s +t -8) +(-1)*(s+t-6) +0*(t)) = -2s  -2  =0 ==> s=-1 \) und Skalarprodukt mit Richtungsvektor von \(\vec b\) muss 0 sein
also: \( 1*(-s + t -8) +1*(s +t -6) +1*(t) )= 3t -14 =0 ==> t= {14 \over 3}\)
Damit sind die Parameter s und t bestimmt, so dass \(\vec d\) senkrecht zu den Richtungsvektoren von  \(\vec a \text { und } \vec b\) ist.
Variante 2: (Vektorprodukt) 
Vektorprodukt liefert \(\vec v =\begin {pmatrix} -1\\-1\\+2\end{pmatrix} \). Der Vektor \(\vec v\) ist senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren von \( \vec a \text { und } \vec b\). Jetzt sind die Parameter s und t aus \(\vec d\) so zu bestimmen, dass gilt \(\vec d = r*\vec v\)
Also : \( -s+t-8 = -r ; s+t-6=-r; t=2r ==> -s+t-8 =s+t-6==>\bf s= -1 \rm ; t-7=-r= -{t \over 2}==> {3 \over 2}t=7==> \bf t= {14  \over 3}\)
Glücklicherweise führen beide Methoden zum gleichen Ergebnis. Möge jeder mit seiner Lieblingsmethode arbeiten

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Sehr schön! :-)   ─   andima 19.12.2020 um 08:42

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