Normalenvektor n

Aufrufe: 154     Aktiv: 11.05.2022 um 09:16

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Hallo,

ich wollte einmal fragen, ob das hier richtig ist...

Ich hab die beiden Spannvektoren und soll einen Normalenvektor aufstellen: (0 / 1 / 2) und (4 / 0 / 1)
Ich hab dann (0/1/2) mit dem vektor n multiplizeirt und das selbe mit dem vektor (4/0/1) gemacht = 0
Ich hab dann ein Gleichungssystem aufgestellt: I:   0n1 + 1n2 + 2n3 = 0 (ich hab dann n3=1 gesetzt) 
                                                                                              1n2 + 2    = 0   /-2
                                                                                                n2           = -2
                                                                              II:  4n1 + 0n2 + 1n3  = 0 (ich hab dann n3=1 gesetzt)
                                                                                   4n1 + 1                 = 0  /-1
                                                                                   4n1                        = -1  /:4
                                                                                     n1                        = -1/4

Ich habe nun als Normalenvektor (n1/n2/n3) herausgefunden: (-1/4  /  -2  / 1)

Ist das richtig?
Ich danke euch!!
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Der Normalenvektor $n$ steht orthogonal auf der von deinen zwei gegebenen Vektoren erzeugten Ebene und somit jeweils orthogonal zu $(0,1,2)$ und zu $(4,0,1)$.

Wenn du von "mit $n$ multipliziert" schreibst, dann meinst du das Skalarprodukt $$ 0 = \langle (n_1,n_2,n_3), (0,1,2)\rangle = n_2 + 2n_3$$ sowie  $$ 0 = \langle (n_1,n_2,n_3), (4,0,1)\rangle = 4n_1 + n_3$$
Lösen des daraus resultierenden linearen Gleichungsysstems liefert dir den gesuchten Normalenvektor $n= (n_1,n_2,n_3)$.

Dein Ergebnis stimmt. Beachte, je nach dem mit welcher Definition ihr arbeitet, sollte $n$ die Länge $1$ haben. Du musst deinen Vektor also ggf. noch normieren.

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Student, Punkte: 780

 

Dankeschöön!!   ─   userd9406c 09.05.2022 um 21:20

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Richtig gerechnet, aber mach mal den Bruch weg, der hat im Vektor nix zu suchen und die zwei Minuse auch nicht (multipliziere mit -4)
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selbstständig, Punkte: 11.38K

 

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Ein Normalenvektor ist über die Orthogonalität definiert. Es gibt keine weiteren Bedingungen, auch nicht über vorkommende Minusse (Mini? ;-)) oder vorkommende Brüche. Der oben berechnete Vektor ist völlig ok.   ─   mikn 09.05.2022 um 21:49

Aber nicht "schön" im Sinne von platzsparend, gut lesbar, fehleranfällig ...   ─   monimust 10.05.2022 um 08:59

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@monimust das ist alles richtig, ist aber von den math. Anforderungen zu trennen. "Nix zu suchen" finde ich daher unzutreffend und könnte den falschen Eindruck vermitteln, dass dieser Vektor nicht ganz richtig ist.   ─   mikn 10.05.2022 um 11:40

Danke!! @mikn   ─   userd9406c 10.05.2022 um 11:46

Stimmt schon, ich hätte es weniger flapsig formulieren können 😉 aber wenn jemand ohne Nachfrage mit -4 multipliziert, könnte man fast meinen er hat das Wesen eines Vektors verstanden.   ─   monimust 10.05.2022 um 20:50

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Was soll denn bitte "das Wesen eines Vektors" sein? Ich verstehe auch nicht warum Brüche nichts in Vektoren zu suchen haben sollten. Ich wollte mich eigentlich raushalten aber den letzten Kommentar versteh ich einfach nicht.   ─   zest 10.05.2022 um 20:58

Danke!! @zest Mich hat das um ehrlich zu sein etwas verwundert, weil wir in der Schule auch Minuszahlen und Brüche in Vektoren haben...
  ─   userd9406c 10.05.2022 um 22:11

Ein kluger Lehrer hat mir vor langer Zeit beigebracht, dass man seine Gehirnkapazität auf die Lösung der mathematischen Aufgabe verwenden sollte. Daher versuche man das Umfeld so einfach wie möglich zu gestalten. Dazu gehört z.B. auch, Buchstaben und Zahlen so zu schreiben, dass sie leicht unterscheidbar sind (t und +; l und 1, z und 2, u und n u.s.w. ...sieht man hier bei Handschriften auch immer wieder) oder wie hier mein Tipp Vektoren ganzzahlig und mit möglichst wenigen Minussen zu schreiben. Gibt noch viele andere hilfreiche Beispiele. Leider wird heute in der Schule kaum noch darauf geachtet, daher eure Verwunderung.



  ─   monimust 10.05.2022 um 22:31

Sorry monimust, aber was euch beigebracht wurde ist einfach falsch. "Vektoren ganzzahlig und mit möglichst wenig negativen Vorzeichen zu schreiben" ist genauso unsinnig, wie $\pi = 3$ oder $\sqrt{2} = 1$ zu schreiben. Es ist einfach falsch.

Ein Vektor hat auch kein "Wesen". Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums über einem Körper $\mathbb K$ und dessen Koordinaten können und werden völlig beliebige Werte aus $\mathbb K$ sein.
  ─   zest 10.05.2022 um 22:48

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Und damit willst du sagen, dass der Vektor (-1/4 -2 1) passender Normalenvektor ist, nicht aber (1 8 -4) ? Weil er zufällig durch diese Rechnung entstanden ist, ist er der einzige wahre? (Wie um Himmels Willen bekomme ich dann mit dem Kreuzprodukt die 1/4 hin? ) der Vergleich mit pi oder Wurzel2 hinkt gewaltig und Wesen muss man jetzt nicht wörtlich nehmen, Eigenschaft oder Umgang damit tut es auch (Studenten scheinen hier eine gewisse Verbissenheit an den Tag zu legen, sieht man in letzter Zeit häufig)

  ─   monimust 10.05.2022 um 23:07

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Natürlich ist ein Vektor, der sich orthogonal auf einer Ebene befindet, auch nach Skalierung immernoch orthogonal (das folgt einfach aus der Linearität des Skalarprodukts). Aber es ist trotzdem schlechte Praxis zu behaupten "Brüche und negative Vorzeichen" hätten in einem Vektor nichts verloren. Die Wahl des Normalenvektors bestimmt die Orientierung einer Fläche. Deine Skalarmultiplikation mit $-4$ ändert ganz einfach die Orientierung des zugrundeliegenden Objekts. Das mag hier möglicherweise keine Rolle spielen, im Allgemeinen tut es das aber sehr wohl. Das hat nichts mit Verbissenheit zu tun, sondern einfach mit dem korrekten Umgang mit Definitionen.   ─   zest 10.05.2022 um 23:27

"aber wenn jemand ohne Nachfrage mit -4 multipliziert, könnte man fast meinen er hat das Wesen eines Vektors verstanden.": Das Wesen des Vektors (das, worauf es bei einem Vektor ankommt) ändert sich damit, da hat zest recht. Hättest Du (monimust) geschrieben: ".... hat das Wesen eines NORMALENvektors verstanden", hätte ich Dir zugestimmt. Das ist übrigens eine klassische wenn-dann-Aussage (heißt: Wenn er nicht mit -4 multipliziert, heißt das nicht, dass er das Wesen eines Normalenvektors nicht verstanden hat).
  ─   mikn 10.05.2022 um 23:30

ich möchte mich hier an der stelle doch einmal einklinken (obwohl ich bei Antworten von monimust eig nicht mehr meinen Senf dazugeben wollte, sry dafür^^) ... ich verstehe zum Teil beide Seiten ... zum einen hat sich monimust vllt etwas missverständlich ausgedrückt, dass man wie mikn das so gut angemerkt hat denken könnte das Ergebnis sei falsch, was es nicht ist ... auf Zitate möchte ich nicht eingehen, es wurde denke ich mittlerweile geklärt wie mancher Wortlaut zu verstehen ist ... aber aus der Praxis heraus verstehe ich auch die Intention von monimust einen Richtungsvektor, gerade wenn man diesem zum weiteren Rechnen verwendet, sich möglichst "einfach" darzustellen ... ich habe das damals auch so gelernt und mache es auch heute noch so ... warum sollte man es sich nicht einfach machen, wenn es wie hier machbar ist? ... ein Muss ist das halt nicht, man könnte es als persönlichen Stil bezeichnen   ─   maqu 10.05.2022 um 23:34

Ach, @maqu, Du würdest wirklich einen guten Diplomaten abgeben.
Es wäre besser gewesen, darüber sind wir uns doch alle einig (scheint mir), wenn die erste Antwort oben gewesen wäre "ja, ist richtig, für weitere Rechnungen ist es aber manchmal hilfreich, mit -4 ....". Dann wäre klar, dass das zwei getrennte Schritte sind.
  ─   mikn 10.05.2022 um 23:41

Und ich beziehe mich in meiner Antwort auf die Frage (hier Normalenvektor). Dass man Ortsvektoren nicht verändert oder wenn man beweisen will, ob das Viereck ein Parallelogramm oder Trapez ist, oder wie dein Beispiel muss ich ja nicht immer in einer Art Aufsatz miterwähnen, das wäre einfach zu lang. Das "Verschönern" macht Rechnungen oder z.B. Geradengleichungen übersichtlicher und nur dafür ist es gedacht. Ein Schüler muss auch nicht alle Möglichkeiten berücksichtigen, wie ein Student/Mathematiker sondern nur, was er kennt und verstanden hat (wenn er es nicht verstanden hat, wie offensichtlich hier, gibt es die Möglichkeit, nachzufragen.   ─   monimust 10.05.2022 um 23:45

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@monimust: Du hast aber nicht von optionalem "verschönern" geredet, sondern von "hat nichts zu suchen", was auf falsches Ergebnis hindeutet. Dass das den Frager irritiert, ist verständlich.   ─   mikn 10.05.2022 um 23:49

@mikn ja, ich stimme dir zu, diese Formulierung hätte wahrscheinlich nicht solch einen Meta-Talk entstehen lassen ... ich finde es aber auch richtig und wichtig auf "ungenaue" Formulierungen aufmerksam gemacht zu werden ... zumindest ich bin da sehr dankbar für, falls mich jemand darauf hinweist :)   ─   maqu 10.05.2022 um 23:50

Jetzt war ich mit meiner Antwort auf @zest zu spät , ihr habt schon weitergemacht.
@mikn kann man so sehen, man kann es aber auch so auffassen, dass man nur mit -4 multipliziert, wenn es geht (RV, NV z.B.) , also das "Wesen", sprich worauf es beim jeweiligen Vektor ankommt verstanden hat.
  ─   monimust 11.05.2022 um 00:02

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Gerade solche "salopp hingeschmierten" Aussagen (wie es die Antwort eben ist) sind meines Erachtens aber genau das, was die Schüler verwirrt, falsch verstehen oder auf alles andere verallgemeinern. Nicht selten erlebe ich Aussagen wie "Unser Lehrer hat das aber so erklärt/gemacht/gezeigt...". Es kommt - gerade hier in diesem Forum - also sehr darauf an, wie man solche Tipps formuliert. Man sollte da schon sehr genau sein, was nicht heißt, dass man dann mit Begriffen aus dem Mathestudium ankommt, was hier ja auch einige gerne tun.   ─   cauchy 11.05.2022 um 00:16

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@userd9406c, dass die Antwort nicht sauber formuliert war, ist ja geklärt, auch vom Autor verstanden (ich bin mir sicher, dass er weiß, wie er wann mit Vektoren umgehen darf, nur nicht richtig rübergebracht).
Was ich aber nicht verstehe: du bedankst dich mehrmals für Verbesserungen/Richtigstellungen, fragst aber nicht nach oder schreibst, dass ihr das in der Schule anders gelernt habt. Dann hätte nämlich die Diskussion zwischen euch stattgefunden und es wäre nicht ein fragwürdiger Vergleich mit pi=3 zustandegekommen. Solche unzutreffenden Aussagen können nämlich auch verwirren.
  ─   honda 11.05.2022 um 09:07

Aber dazu noch eine Frage : es ist ja auch usus, Variablen alphabetisch zu sortieren oder bei Potenzen in absteigender Reihenfolge der Exponenten. Falsch wäre es ja trotzdem nicht, b²a³ zu schreiben, erschwert aber die Lesbarkeit und Vergleichbarkeit, wenn alles durcheinander geht. Welchen Stellenwert haben solche Vereinbarungen, wie auch Brüche kürzen oder eben z.B. Richtungsvektoren bearbeiten. Egal, sinnvoll, anzuraten, unabdingbar?   ─   honda 11.05.2022 um 09:16

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