Hallo,

der Differentialquotient hat die Form

$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h $$

Jetzt können wir nicht einfach für \( h \) Null einsetzen, denn dann würden wir ja durch Null teilen. Also wollen wir den Quotienten so umformen, das wir problemlos den Grenzwert bilden können (natürlich nur wenn der Grenzwert auch existiert, denn das muss nicht für jede Funktion so sein). 

Betrachten wir mal die Funktion \( f(x) = x^2 \). Es gilt

$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h = \lim\limits_{h \to 0} \frac {(x+h)^2 - x^2} h = \lim\limits_{h \to 0} \frac {x^2 + 2xh + h^2 -x^2} h = \lim\limits_{h \to 0} \frac {2xh+h^2} h = \lim\limits_{h \to 0} (2x + h) = 2x $$

Wir konnten also nach einigen Umformungsschritten das \(h \) im Nenner kürzen und danach hatten wir kein Problem mehr den Grenzwert zu bilden.
Versuch dich doch vielleicht mal an der Funktion \( f(x) = \frac 1 x \). Ist schon etwas knackiger. Ich gucke gerne nochmal drüber :)

Grüße Christian