Gleichung lösen mit Defintionsbereich, Lösungsmenge und Kontrolle

Aufrufe: 1122     Aktiv: 26.01.2021 um 14:08
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Hey, 

Aufgabe lautet: "Geben Sie den Definitionsbereich der folgenden Gleichung an. Bestimmen Sie die Lösungsmenge und kontrollieren Sie ihr Ergebnis!"

Als Beispiel:
a) 
2,3^(x+4) = 22,8

Wie definiere ich da den Defintionsbereich? Ich würde zuerst erstmal sagen x Element R bzw. x ε ℝ

Also bei Definitionsbereich, den ich jetzt sagen würde wäre: 
x ε ℝ 
x\{4} 

Weil wenn man x = 4 einsetzt kommt ja null raus und das geht natürlich nicht. 


Bei der Lösungsmenge wäre dann doch einfach nur das Ergebnis in eine Menge schreiben, also 
L = {Ergebnis von x}


Und beim kontrollieren ist einfach nur x einsetzen?



Stimmt da so wie ich es geschrieben habe?

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Stimmt leider nicht ganz, (Null ist übrigens immer eine Lösung (wenn Null als Lösung rauskommt, also niemals einfach verwerfen); )  du darfst nur nicht durch Null teilen, aber bei der Gleichung ist ja nirgends ein geteilt. Also ist  D=R, hier wäre es außerdem die -4 die im Exponenten Null ergibt und die linke Seite ergäbe nicht Null sondern 1

und dann die Gleichung lösen, wie du schon geschrieben hast, Lösungsmenge mit der Definitionsmenge abgleichen, hier ist ja nichts ausgeschlossen. Käme bei deiner Lösung etwas heraus, was laut D ausgeschlossen ist, ist es kein Element der Lösungsmenge






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selbstständig, Punkte: 11.89K

 
Könntest du es mir vielleicht nochmal Mathematisch hinschreiben, weil so als reinen Text, verstehe ich das jetzt nicht 100%.   ─   trite8q1 24.01.2021 um 15:37
D=R, L=(x-Wert); lösen musst du alleine   ─   monimust 24.01.2021 um 15:42
D.h. der Definitonsbereich ist D = R?   ─   trite8q1 24.01.2021 um 15:43
ja, und oben habe ich erklärt warum, das kann man mathematisch nicht ausdrücken, nur, was du falsch gedacht hast erklären. wenn du was nicht verstehst, dann frage einfach nach   ─   monimust 24.01.2021 um 15:46
Okay.
Ich bin mir allerdings unsicher bezügl. Ergebnis und Kontrolle:
Also ich habe x ~ 4,25 raus.

Bei der Kontrolle jetzt würde ich Folgendes machen:
2,3^(4,25+4) = 22,8.
Aber auf der linken Seiten kommt irgendwas über 900 raus. Ist mein Ergebnis falsch oder mache ich einfach nur meine Kontrolle falsch?


Dann hatte ich noch eine weitere Aufgabe mit der selben Aufgabenstellung:
b) Wurzel(2x + 2) = Wurzel(x + 4) + 2
Da habe ich:
x1 ~ 29,1
x2 ~ - 1,1
raus.
Und bei der Kontrolle kommt nur bei x1 was sinnvolles raus, da war glaub die Kontrolle auf beiden Seiten dann 7,25 = 7,25 , wenn mich nicht alles täuscht.   ─   trite8q1 25.01.2021 um 11:42
also dein erstes Ergebnis ist falsch (x=-0,246), prüfe das bitte mal nach, damit du siehst, dass/ob deine Kontrolle funktioniert). Wie war deine Rechnung?
die zweite Aufgabe habe ich mir noch nicht angesehen, wir lösen jetzt erst mal die erste.   ─   monimust 25.01.2021 um 11:58
Tatsache, -0,246 stimmt. Aber ich weiß nicht wie man darauf kommt.
Wenn ich die Kontrolle mache, komme ich auf 22.799, was ja etwa ~ 22,8 ist, weshalb die Kontrolle stimmt.
Das hier ist ein Screenshot von meiner Rechnung: https://imgur.com/V6J23BE   ─   trite8q1 25.01.2021 um 12:08
Und ich habe dabei einfach das mit log usw. in meinen Taschenrechner eingegeben
   ─   trite8q1 25.01.2021 um 12:09
an deinem Aufschrieb kann ich keinen Fehler finden, damit müsste es ein TR-Eingabefehler sein. Nochmal eingeben, falls du das schon gemacht hast, probier mal mit anderen Logarithmen (2^x=8, 2^(x-1)=8 z.B.), die man im Kopf überprüfen kann, ob du bei der Eingabe alles richtig machst (Basis und Argument vertauschen wäre eine Möglichkeit, oder Klammern falsch gesetzt oder vergessen zuzumachen -ich kann leider nicht experimentieren, da mein TR diese moderne Eingabe von Logarithmen nicht kann)   ─   monimust 25.01.2021 um 12:22
Nachfrage: du hast schon einen TR, bei dem man Basis und Argument eingeben kann?   ─   monimust 25.01.2021 um 12:22
Ja habe ich.
Eben kam ich auch auf das richtige Ergebnis. Also ich habe mich da vermutlich verdrückt.   ─   trite8q1 25.01.2021 um 12:44
Wie ist das nun bei b) ?   ─   trite8q1 25.01.2021 um 12:46
schau ich mir gerade an, aber du könntest da auch mal deine Lösung hochladen. Wichtig ist dass hier D nicht gleich R ist, hast du das beachtet?   ─   monimust 25.01.2021 um 12:47
https://imgur.com/TxKEbRo

Also D ≠ R. Aber ich habe es noch nicht hingeschrieben.   ─   trite8q1 25.01.2021 um 12:49
nein, das sollte nur heißen, dass du hier einen eigenen Definitionsbereich für die Wurzeln aufstellen musst und bei der Lösung überprüfen, ob sie in D liegt   ─   monimust 25.01.2021 um 12:57
Rechnung ok, nur dass zum Schluss unter der Wurzel 224 steht.,   ─   monimust 25.01.2021 um 13:01
habe jetzt auch mit beiden Lösungen kontrolliert, erste (28,97) passt halbwegs (wahrscheinlich Rundungsfehler, müsste man noch mal mit dem exakten Wert einsetzen), zweite -0,97 passt nicht.
Das liegt daran, dass das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzoperation ist, d.h. die Lösungen der vorherigen müssen nicht mit der neuen Gleichung übereinstimmen. Daher muss man IMMER die Lösungen überprüfen weil welche "dazuerfunden" worden sein könnten. Also hier nur die erste Lösung angeben.

Kommst du mit der Definitionsmenge klar? Beide Wurzelinhalte müssen positiv sein

   ─   monimust 25.01.2021 um 13:13
Definitionsmenge komme ich nicht wirklich klar.   ─   trite8q1 25.01.2021 um 13:26
Definitionsmenge sind die x-Werte, die du überhaupt einsetzen darfst. In der ersten Aufgabe waren das alle aus R. In der zweiten Aufgabe existieren Wurzeln und du weißt, dass man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. Daher muss für die erste Wurzel gelten: 2x + 2 >0 und für die zweite : 4+x>0 ; beide Ungleichungen löst du auf und suchst einen Bereich der für beide GEMEINSAM gilt, das ist dann die Definitionsmenge   ─   monimust 25.01.2021 um 13:35
D.h. der Defintionsbereich ist:
D = 2x + 2 > 0.
D = 4 + x > 0
Weil ja in der Wurzel keine Minus sein darf. Deshalb muss x >= 0 sein.   ─   trite8q1 25.01.2021 um 19:59
du musst die Gleichung noch nach x auflösen, der Definitionsbereich beschreibt ja die Menge aller x-Werte, die eingesetzt werden dürfen; x muss hier nicht >= 0 sein sondern das, was unter der Wurzel steht, wenn man für x eine Zahl einsetzt   ─   monimust 25.01.2021 um 20:10
Okay. Ich würde dir jetzt nochmal meine Endgültige Lösungen rein schicken. Kannst du dir bitte nochmal speziell Definitionsbereich, Lösungsmenge und Kontrolle anschauen. Ob das so mathematisch gut formuliert ist
Ich habe es dir hier nochmal hochgeladen: (Imgur funktioniert bei mir gerade irgendwie nicht deshalb jetzt das Screenshot-Tool gyazo):
1. Seite https://gyazo.com/cdc3e679837f38f4914cde7e568cd6fa
2. Seite https://gyazo.com/1ed2bf2b8ef44cb5c807014ae592eb33   ─   trite8q1 26.01.2021 um 12:26
kleine Anmerkung: Gleichheitszeichen nur bei exakten Angaben verwenden, sobald gerundet wurde (im Ergebnis für x oder bei der Kontrolle) das Ungefährzeichen (Doppelwelle); mathematisch auch nicht korrekt ist, beim falschen Ergebnis in der Kontrolle das = stehen zu lassen und dann nur falsche Aussage zu schreiben. (Ich weiß nur nicht, wie genau du sein musst. Eigentlich macht man bei Kontrollrechnungen grundsätzlich ein ! oder ? über das = solange bis man es genau weiß, in der Zeile dann = schreiben oder durchgestrichenes =, oder man rechnet bei der Kontrolle gleich beide Seiten getrennt aus , linke Seite: ..., rechte Seite ...., Fazit. Schreibe das nur dazu, weil du nach mathematisch guter (korrekter) Formulierung gefragt hast. Das ABER kommt jetzt gleich im nächsten Kommi
   ─   monimust 26.01.2021 um 12:50
ABER mit der Definitionsmenge klappt das noch nicht. Ich schreibe jetzt mal die korrekte Weise dazu (mit normaler Tastatur) , vll. lernst du daraus besser, was gemeint ist:
Bevor du mit der Rechnung beginnst:
2x+2>0; x>-1 und (umgekehrtes v) x+4>0; x>-4; D= geschw. Klammer x€R I x>-1 geschw. Kl.

wenn du deine x-Werte ausgerechnet hast, schaust du zuerst nach, ob dein x Wert in D liegt und nur solche dürfen in die Lösung. Kontrolle kann normalerweise nach der Angabe der Lösungsmenge erfolgen, weil sie nicht Teil der Rechnung ist, hat man aber quadriert ist sie Bestandteil der Rechnung. Hast du hier ja richtig gemacht, nur der Vollständigkeit halber   ─   monimust 26.01.2021 um 13:01
Okay. D.h. die Lösungsmenge stimmt so bei a) und b)?
Beim Definitionsbereich habe ich ja bei a) D = R und bei b) kommt dann was?   ─   trite8q1 26.01.2021 um 13:04
steht doch da   ─   monimust 26.01.2021 um 13:05
Also das hier wäre dann der Definitonsbereich?
2x+2>0; x>-1 und (umgekehrtes v) x+4>0; x>-4; D= geschw. Klammer x€R I x>-1 geschw. Kl.   ─   trite8q1 26.01.2021 um 13:10
Der Definitionsbereich ist das, was nach D= steht , das davor dient nur zur Berechnung aber die brauchst du ja , um D festzulegen   ─   monimust 26.01.2021 um 13:38
Okay, alles klar.
Und bei a) ist es ja D = R. Das bedeutet doch einfach nur: "Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen" oder?   ─   trite8q1 26.01.2021 um 13:51
jupp   ─   monimust 26.01.2021 um 14:08

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