Ein paar Fragen zu FOLGEN

Aufrufe: 663     Aktiv: 24.11.2020 um 09:11

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Hi Leute,

Könntet ihr mir bitte bei den folgenden Fragen helfen?

1. Haben Folgen immer einen Beginn? Also gibt es immer ein erstes Folgenglied oder ist es genauso wie bei der Menge der reelen Zahlen, dass es weder einen Beginn noch ein Ende hat?

2. Kann man die Mengen der Natürlichen Zahlen, Ganzen Zahlen, Rationalen Zahlen und Irrationalen Zahlen als Folge betrachten?

3. Sind kontante Folgen konvergent bzw. warum sind sie konvergent?

4.Wie unterscheiden sich Folgen von Funktionen?

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Hey,

da sind ein paar interessante Fragen dabei. Schauen wir es uns mal im Detail an:

(1) & (4) Ich denke diese beiden Punkte kann man relativ gut zusammen erklären. Der Unterschied zwischen Funktionen und Folgen liegt im Definitionsbereich. Während Funktionen auf allen beliebigen Mengen definiert werden können (du kennst wahrscheinlich meist \( \mathbb{R} \) sind Zahlenfolgen ausschließlich auf den natürlichen Zahlen definiert. Du nimmst also eine natürliche Zahl und bildest sie mit einer Bildungsvorschrift auf eine beliebige andere Zahl ab. Dadurch hast du bei Zahlenfolgen auch immer ein erstes Folgenelement und somit einen "Beginn" der Folge.

(2) Natürlich kannst du durch die Identitätsabbildung, \( n \rightarrow n \) für \( n \in \mathbb{N} \) die Menge der natürlichen Zahlen als Folge ansehen. Auch für die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen gibt es solche Bildungsvorschriften (schau dir hier mal Cantors Diagonalargument an). Bei den irrationalen Zahlen geht das soweit ich weiß jedoch nicht.

(3) Ja konstante Folgen sind konvergent. Schau dir dazu mal die Grenzwertdefinition über die \( \epsilon \) - Umgebung an, dann wirst du relativ schnell sehen, dass die für konstante Folgen immer erfüllt ist.

 

Ich hoffe das hilft dir erstmal weiter!

VG
Stefan

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M.Sc., Punkte: 6.68K

 

Lieber Stefan,
Danke für deine Hilfe. Jedoch habe ich noch eine Frage zu meiner zweiten Frage. Du sagst, dass man die Menge der Rationalen Zahlen, Ganzen Zahlen und Reelen Zahlen als eine Folge betrachten kann. Aber diese Mengen haben keinen Beginn. Und du hast mir erklärt, dass ja jede Folge einen Beginn hat. Kannst du mir bitte meinen Denkfehler erklären, wenn du verstehst was ich meine?
  ─   mathefragen11 23.11.2020 um 16:32

Du kannst eine Folge \( a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) konstruieren, die jeder natürlichen Zahl eine Ganze Zahl zuweist. Somit zeigst du zum einen, dass es genau so viele ganze Zahlen gibt, wie natürliche (ja wirkt nicht intuitiv, ist aber tatsächlich so) und du kannst damit auch die ganzen Zahlen als eine Art Folge betrachten.

Ähnlich ist es mit den rationalen Zahlen (was für den Einsteiger noch verwirrender wirkt). Hier das bereits von mir erwähnte Cantorsche Diagonalargument:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
  ─   el_stefano 23.11.2020 um 17:41

Danke el stefano für deine Hilfe!




  ─   mathefragen11 23.11.2020 um 18:21

Ich glaube, dass ich das, was du in deinem Kommentar erklärt hast, verstanden habe. Nur um sicher zu gehen nenne ich dir ein Beispiel, was du gemeint haben könntest.
0 --> -100 1 --> -99 2 --> -98 3 --> -97 ...
Dabei wäre dann -100 das erste Folgenglied dieser Folge, die die Menge der Ganzen Zahlen darstellen soll, obwohl die Menge der Ganzen Zahlen keinen Beginn hat, oder?
  ─   mathefragen11 23.11.2020 um 18:42

Ganz so einfach ist die Bildungsvorschrift nicht, aber im Prinzip geht es in diese Richtung: Du kannst halt nicht von hinten anfangen zu zählen. Man geht deshalb meist so vor: 1->0 | 2->-1 | 3 -> 1| 4 -> -2 | ...
Damit hast du de-facto alle ganzen Zahlen in einer Folge drin.
  ─   el_stefano 24.11.2020 um 09:11

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