Taylorpolynom und Restgliedabschätzung für e^-x

Erste Frage Aufrufe: 83     Aktiv: 06.03.2022 um 23:12

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Guten Abend, ist mein Ansatz richtig ?
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Das ist fast perfekt. "Fast", weil:
Man muss $|R_n|$ abschätzen, also erstmal hinschreiben mit Beträgen, dann kann man- wg der Angaben hier - Beträge weglassen (Begründung dazu geben). Die Beträge haben auch den Vorteil, dass man die Ableitungen gar nicht ausrechnen muss, und schon gar nicht hinschreiben, denn es gilt ja $|f^{(i)}(x)|=e^{-x}$ für alle $i,x$.
Dann wird abgeschätzt, es geht also mit $\le$ weiter, nicht mit $=$. Das $<0.1$ würde ich direkt ans Ende der Abschätzungszeile dahinter schreiben. Sonst steht, wie bei Dir, so isoliert $64/720<1/10$ da, wo man sich fragt, was das soll.
$T_5$ anzugeben war nicht verlangt, dann würde ich das auch nicht machen (Zeit sparen und Fehlerquelle sparen).
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Stimmt T5 hätte ich mir sparen können. Also nächstes mal Betragsstriche nicht vergessen und im Hinterkopf behalten das bei Ableitungen von Funktionen wie dieser, wo sich nur das Vorzeichenwechselt die Ableitungen ausrechnen überflüssig ist. Also |Rn| <= |64/720| < 1/10.

Vielen lieben Dank für Ihre Hilfe ^^
  ─   astolfo 06.03.2022 um 22:51

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Gerne. Nochmal zu den Beträgen: Das sollte so aussehen: $|R_n|=\frac{|f^{(6)}(\xi)|}{6!}\cdot |x-x_0|^6 = \frac{e^{-\xi}}{6!}\cdot (x-x_0)^6 \le ...$.
In Ü-Aufgaben kommt häufig was mit $\sin$ und $\cos$ vor, da wechseln die Ableitungen auch hin und her, und man kann, mit $|\sin \xi|\le 1$ leicht abschätzen, genauso für $\cos$, und muss nicht die soundsovielte Ableitung ausrechnen.
  ─   mikn 06.03.2022 um 23:12

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