Es kommt immer auf die genau Form der Gleichung an. Du hast schon richtig erkannt, dass

$$(7-x)(7+x)=49-x^2$$
eine binomische Formel ist.Nur nutzt du das in deinem Ansatz nicht, wie wir gleich sehen werden.

Am Ende ist nur wichtig, dass du dieses Problem auf ein einfacheres, bekanntes Problem zurückführst - nämlich hier eine quadratische Gleichung.

Dein Ansatz macht folgendes:

$$\sqrt{7+x}=4- \sqrt{7-x}$$

Beide Seiten quadrieren:

$$7+x=16-8\sqrt{7-x}+7-x$$

Jetzt formen wir etwas um und erhalten:

$$ \frac{2x-16}{8}=\sqrt{7-x}$$

Jetzt müssen wir nochmal quadrieren (und umformen):

$$
\frac{(2x-16)^2}{64}+x=7 $$
und wir haben wieder eine quadratische Gleichung, die wir lösen können.

Beides Mal das Gleiche Prinzip, nur ist der eine Weg eben deutlich länger und fehleranfälliger.

Ich denke, das was du "gelernt" hast, also Wurzeln verteilen, bezieht sich auf

Wurzel - Wurzel = 0,   denn da ist dann tatsächlich eine direkte Auflösung ohne Bin Formeln möglich.

Sobald eine Zahl dabei ist oder noch eine Wurzel, hat man das Problem, eine Summe/Differenz zu quadrieren und dabei ist es fast egal, was wo steht. Vielleicht gibt es aufgabenabhängig einen leichteren oder schwereren Weg, das kann man durch Probieren oder Erfahrung herausfinden.