Taylorreihe rationaler Funktionen aufstellen

Erste Frage Aufrufe: 63     Aktiv: 21.05.2021 um 11:08

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Hallo zusammen!

Ich habe folgende Funktion gegeben: \(f=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}\) 

Nun soll ich mit einer Partialbruchzerlegung und einer geometrischen Reihe die Taylorreihe im Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\) aufstellen. Außerdem soll das größtmögliche Intervall angegeben werden, auf dem diese Taylorreihe mit der Funktion f übereinstimmt.

Ich habe die Partialbruchzerlegung bereit gelöst, dabei komme ich auf: \(\frac{2/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2}\) bzw. auf \(\frac{2}{3} * (x+1)^{-1} + \frac{1}{3} * (x-2)^{-1}\)

Wie kann ich daraus jetzt die Taylorreihe im Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\) aufstellen? 
Vielen Dank!

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1 Antwort
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Der Schlüssel zu allem ist die geometrische Reihe: \(\sum\limits_{i=0}^\infty y^i = \frac1{1-y}\).
Man muss also die Nenner jeweils in die Form \(1-y\) bringen, also

\(1+x=1-y\) mit \(y=?\)
und
Tipp für den zweiten: \(x-2=2(\frac{x}2-1) =-2(1-y)\) mit \(y=?\).
Dann addiert man die beiden erhaltenen geometrischen Reihen und ist fertig.
Natürlich konvergiert das ganze nur da, wo jede der beiden Reihen für sich alleine konvergiert.
Fang mal an und melde Dich, wenn's irgendwo nicht weitergeht.
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Hi. Vielen Dank für die Antwort.
Wie genau funktioniert das, die Nenner in die Form \(1-y\) zu bringen? \(1+x\) ist ja \(1-y \) mit \( y=-x\) aber das wird ja wohl kaum die Lösung sein (: Wenn die geometrische Reihe die Form \( \frac{1}{1-y} \) hat, dann hängen doch Zähler und Nenner bei der Umformung zusammen oder?
  ─   hulakal 20.05.2021 um 23:59

Nein, mit y=-x ist man nicht fertig. Also, nutze das um deine Reihe zu finden. Konstanten sind ja kein Problem, die kann man ja aus der Reihe rein und rausziehen. So, nun finde mal die Details selbst, nachdem die Tricks schon verraten sind.   ─   mikn 21.05.2021 um 00:16

Ich würde jetzt für die Reihen auf \(f(x)=\frac{2}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^n\) kommen... Passt das?   ─   hulakal 21.05.2021 um 00:48

Sehr gut! Sollte man aber noch zu einer Reihe zusammenfassen.   ─   mikn 21.05.2021 um 11:08

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