Formel Beweisen

Erste Frage Aufrufe: 92     Aktiv: 10.11.2021 um 21:12

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Wie beweist man diese Formel?
(X²-Y²)² + (2XY)²=(X²+Y²)²

Es ist mir bekannt dass ich diese ausmultiplizieren muss , aber ich haber Schwierigkeiten hierbei. 
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Schüler, Punkte: 10

 
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Hallo!

Am besten weist du die Gleichung nach, indem du die linke Seite der Gleichung ausrechnest, dann die rechte Seite und dann kontrollierst, dass die Ergebnisse von linker und rechter Seite gleich sind.

Tipp 1: Schau dir die 1. und 2. binomische Formel an.
Tipp 2: Schau dir die Potenzgesetze für den 2. Summanden auf der linken Seite an.

Gruß, Ruben
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1. Term Zweites Binom oder du schreibst zwei gleiche Klammern und multiplizierst sie aus.
2. Term  Potenzregeln beachten
Entweder du siehst dann, dass man zum ersten Binom (3.Term) umformen kann oder du multiplizierst das dann auch aus.
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Alternativ stellt man die Gleichung nach $(X^2+Y^2)^2-(X^2-Y^2)^2$ um und wendet die 3. binomische Formel rückwärts an. Dann spart man sich lästiges ausmultiplizieren, wenn man Probleme dabei hat (ist an dieser Stelle übrigens eine gute Übung, das mal auf diese Weise nachzuweisen).
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Selbstständig, Punkte: 15.24K

 

Klappt bestimmt gut, wenn man schon Schwierigkeiten hat, das herkömmlich auszurechnen 😉   ─   monimust 10.11.2021 um 20:13

Tut mir leid dass ich jetzt nochmal nachfrage, aber inwiefern rückwärts?   ─   mathesely 10.11.2021 um 20:16

@Cauchy: Tut mir leid, aber ich sehe nicht, wie man sich durch deinen Ansatz das Ausmultiplizieren erspart, wobei ich hier das Anwenden einer binomischen Formel als Ausmultiplizieren werte. Ansonsten würde ich Monimust zustimmen. Wer hier schon ganz grundsätzliche Probleme hat, wird sich sicherlich nicht auf einen "special" Weg begeben :o)   ─   mathematinski 10.11.2021 um 20:20

Deswegen auch der zusätzliche Vermerk mit "gute Übung". ;) Die Anwendung der binomischen Formel wäre hier aber eher eine Faktorisierung und kein Ausmultiplizieren.

@mathesely: Wenn man Ausdrücke der Form $a^2-b^2$ hat, entspricht das immer der 3. binomischen Formel und man kann sie schreiben als $(a+b)(a-b)$. Das funktioniert in diesem Fall eben auch, wenn man die Gleichung so umstellt, wie oben geschrieben. Sowas zu wissen, kann ganz häufig hilfreich sein. In deinem Fall wäre $a=X^2+Y^2$ und $b=X^2-Y^2$.
  ─   cauchy 10.11.2021 um 20:24

@mathesely $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ von rechts nach links anwenden
@mathematinsky das funktioniert schon, links brauchst du nur addieren und dann kommt (2x^2)(-2y^2) raus
  ─   monimust 10.11.2021 um 20:30

$2Y^2$, Vorzeichenfehler.   ─   cauchy 10.11.2021 um 20:36

@Cauchy: Entschuldige bitte, aber das stimmt ja wohl wirklich nicht. Wieso sollte die Anwendung einer binomischen Formel in DIESEM Fall eine "Faktorisierung" sein? (Das wäre genau dann der Fall, wenn man eine Summe aus drei Summanden - oder im Falle der 3. binomischen Formel aus zwei Summanden - in ein Produkt "zurückverwandelt". Hier ist die Anwendung der binomischen Formel gerade das Umgekehrte, sprich mit ihrer Hilfe wird die faktorisierte Form in eine Summe verwandelt!   ─   mathematinski 10.11.2021 um 20:37

Weil der Ausdruck $a^2-b^2$ zu $(a+b)(a-b)$ faktorisiert wird. Ich sagte, man soll die 3. binomische Formel RÜCKWÄRTS anwenden. Du liest anscheinend nicht nur Fragen ungenau, sondern auch Antworten. Das ist schade.   ─   cauchy 10.11.2021 um 20:38

Ich sehe schon. Das, was du gestern Leuten in diesem Forum vorgehalten hast, nämlich, dass es ihnen mehr darum geht unter Beweis zu stellen, dass sie "echt Ahnung" haben, als wirklich eine Frage hilfreich für die fragestellende Person zu beantworten, trifft - zumindest in diesem Fall - voll und ganz auf dich zu. Technisch gesehen hast du recht, dass man deinen Beitrag so verstehen kann, wie du ihn intendiert hast, aber DAS als Lösung für jemanden vorzuschlagen, der elementare Probleme hat, ist entweder arrogant oder einfach nur doof. Weshalb ich auch erstmal gar nicht gesehen habe, worauf du eigentlich hinaus willst, weil ich nach deinem Statement gestern selbstverständlich unterstellt habe, dass du nicht zur Kategorie dieser ******* gehörst ...   ─   mathematinski 10.11.2021 um 20:43

@cauchy bei mir kommt beim schnellen Durchrechnen (-) raus und das scheint auch konsistent, da es sich mit dem (2xy)^2 aufheben muss.   ─   monimust 10.11.2021 um 20:43

@mathematinski: Warum du jetzt wieder persönlich wirst, verstehe ich nicht. Ich habe lediglich eine Alternative vorgeschlagen, die als gute zusätzliche Übung dient, was man sich - insbesondere dann, wenn man grundlegende Probleme hat - durchaus auch mal anschauen sollte. Denn Mathematik lernt man nur durchs tun.
Edit: Wenn man sich die Antworten nicht durchliest, sollte man vielleicht nicht kommentieren, da sonst nur zusätzliche Verwirrung gestiftet wird, wie jetzt in diesem Fall.

@monimust: Irgendwo hat man dann "minus mal minus".
  ─   cauchy 10.11.2021 um 20:48

@Cauchy: Du gehörst - zumindest ist das ganz stark mein Eindruck - zu der Kategorie derjenigen Menschen, die völlig problemlos austeilen, aber nicht unbedingt den Maßstäben gerecht werden, die sie an andere anlegen. Und wenn man diese Art Mensch darauf anspricht, bzw. das adressiert, dann liegt das Problem einfach immer beim Gegenüber. Meinetwegen. Mach, wie du willst, wenn du dich dann gut fühlst ...   ─   mathematinski 10.11.2021 um 20:53

@Cauchy: Und ja. Ich wäre dir extrem dankbar, wenn wir ein Agreement schließen könnten, dass wir darauf verzichten, uns gegenseitig zu kommentieren. Ich hab auf sowas echt keinen Bock. Und ob meine Beiträge nun hilfreich sind oder nicht, sollen dann eben die Fragestellenden beurteilen, oder ANDERE in diesem Forum ...   ─   mathematinski 10.11.2021 um 21:01

Dann habe ich deine Idee wohl nochmal anders umgesetzt, bei mir ist da kein -mal-.
das (a+b) ergibt 2x^2, das (a-b) führt zu -2y^2, multipliziert -4x^2y^2 und das steht ja auch rechts vom =, oder hebt sich auf und rechts steht 0.
  ─   monimust 10.11.2021 um 21:03

Dann hast du einfach die Reihenfolge vertauscht und $(X^2-Y^2)^2 - (X^2+Y^2)^2$ gerechnet.   ─   cauchy 10.11.2021 um 21:06

stimmt, einfach ausprobiert und nicht darauf geachtet, dass du es anders vorgeschlagen hattest, sehe ich jetzt erst ;)   ─   monimust 10.11.2021 um 21:12

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