Uneigentliche Konvergenz und Stetigkeit

Aufrufe: 430     Aktiv: 19.01.2021 um 15:50
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Hallo zusammen,

Ich hätte eine Frage zur folgenden Aufgabe.

Gegeben sind zwei reelle Folgen xn und yn. Die eine (yn) geht gegen unendlich und die andere (xn) ist nach unten beschränkt.

Zu zeigen ist nun, dass gilt xn + yn geht gegen unendlich

Wie mache ich das ?

Vielen Dank für eure Hilfe

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Du zeigst, dass für jede Zahl \(M\in\mathbb{R}\) ein \(n_0\) existiert, so dass \(x_n+y_n\ge M\) für alle \(n\ge n_0\) gilt. Dabei verwendest Du die gegebenen Eigenschaften der Folgen \((x_n), (y_n)\).

Fange so an: Sei \(C\) eine untere Schranke für \(x_n\). Sei \(M\in\mathbb{R}\) gegeben. Dann existiert \(n_0\in\mathbb{N}\), so dass \(y_n\ge M-C\) für alle \(n\ge n_0\) gilt. Kannst Du den Beweis zuende führen?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Kann ich dann so weitermachen :
da xn nach unten beschränkt, gilt xn> M

Und wie bring ich die jetzt zusammen ?   ─   lawena 19.01.2021 um 15:36
Nein, es gilt ja \(x_n\ge C\), das musst Du jetzt verwenden. Schätze \(x_n+y_n\) nach unten ab, wenn \(n\ge n_0\) gilt.   ─   slanack 19.01.2021 um 15:41
also dann : für n>= n0 gilt : xn + yn >= M-C+C=M
dann hätte ich ja auch gezeigt, dass xn + yn >= M   ─   lawena 19.01.2021 um 15:48
Perfekt!   ─   slanack 19.01.2021 um 15:49
Vielen lieben Dank   ─   lawena 19.01.2021 um 15:50
:)   ─   slanack 19.01.2021 um 15:50

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