Kombinatorik / Anzahl an Möglichkeiten

Erste Frage Aufrufe: 234     Aktiv: 18.05.2021 um 22:54

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Ich habe bereits die Anzahl an Möglichkeiten schon berechnet und zwar so: 10! / (6! * 4!) = 210 Möglichkeiten

Nun weiß ich aber nicht wie ich das mit der zweiten Frage am Besten mache, also die Anzahl an Möglichkeiten berechnen, wo keine zwei Taschenbücher nebeneinander stehen dürfen.

Kann mir hier vielleicht jemand kurz weiterhelfen? 

 

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gefragt

Punkte: 25

 

Weiß es wirklich niemand oder möchte mir einfach keiner helfen? ^^   ─   nobrain32 17.05.2021 um 13:04

Hallo,

Kombinatorik ist nicht unbedingt mein Steckpferd, aber versuchen wir es doch mal zusammen.

Bei der ersten Frage gibt es doch keinerlei Einschränkungen oder sehe ich das falsch? Also werden hier einfach nur 10 Bücher angeordnet. Deshalb würde ich sagen ist die Anzahl der Möglichkeiten \( 10!\).

Bei der zweiten dürfen keine zwei Taschenbücher nebeneianander stehen. Also brauchen wir wie viele Bücher mit Hardcover um diese 4 Taschenbücher zu trennen? Die restlichen können wir uneingeschränkt anordnen.
Jetzt würde ich es "durchzählen". Ob es eine einfachere Formel gibt weiß ich nicht, vermutlich gibt es die aber.
Diese x übrig gebliebenen können entweder ganz links stehen oder zwischen dem ersten und zweiten Taschenbucher oder..
Dann sollen x-1 links von den Taschenbüchern stehen. Dann kann 1 zwischen ersten und zweiten Taschenbuch stehen oder zwischen zweiten und dritten usw.

Wenn wir dann alle diese Anordnungsmöglichkeiten durch haben, müssen wir noch wissen, wie viele Möglichkeiten dazu kommen, wenn wir die Bücher untereinander vertauschen. Also Taschenbuch 1 wechsel den Platz mit Taschenbuch 2 usw.
Das ist etwas einfacher (denke ich). Hier würde ich sagen, multiplizieren wir die Anzahl der Umordnungsmöglichkeiten der Taschenbücher, mit der der Bücher mit Hardcover. Also wie oft kann man 4 Taschenbücher untereinander vertauschen und wie oft kann man 6 Bücher mit Hardcover miteinander vertauschen.

Diese beiden Einzelüberlegungen müssen wir dann mutliplizieren.

Was sagst du dazu?

Grüße Christian
  ─   christian_strack 17.05.2021 um 17:31

Moin, ich mische mich hier auch mal ein ;), jedoch ist Kombinatorik auch nicht meine Stärke.
Dein Ansatz, Christian; scheint zwar richtig, jedoch auch reichlich langwierig, sodass Fehler leicht passieren können. Ich hatte daher eher daran gedacht, je ein Taschenbuch an ein Buch mit Hardcover zu "binden", sie sozusagen als neue 4 Elemente zu definieren. Dann kann man die übrigen 2 Hardcover-Bücher nach Regeln der Permutation anordnen: \(\frac{6!}{2! \cdot 4!}\). Um dann alle möglichen Anordnungen zu erhalten müsste man das Ergebnis mit 2 multiplizieren, da die Bücher ja auch andersherum aneinander gebunden sein können (Anzahl Möglichkeiten: 30). Was meint ihr dazu? Vielleicht habe ich auch irgendwo einen Denkfehler gemacht...
  ─   fix 17.05.2021 um 19:39

Ja ich glaube auch das mein Weg recht Fehler anfälig ist.
Aber ich glaube je zwei Bücher zusammenzupacken klappt nicht ganz. Sagen wir mal Hardcover=1 und Taschenbuch=2. Dann wäre eine mögliche Anordnung
$$ 2112112112 $$
Keins der Taschenbücher steht neben einem anderen. Allerdings haben wir nicht 4x das Paar 21 bzw 12. Ich denke das muss entweder berücksichtigt werden oder passt nicht oder?
$$ (21)1(21)1(21)12 $$
  ─   christian_strack 17.05.2021 um 19:44

Und finde ich sehr gut wenn jemand mit diskutiert. :D so lernen wir alle was davon und bekommen das schon irgendwie gelöst :p   ─   christian_strack 17.05.2021 um 19:45

Ja also, ich würde echt gerne mitdiskutieren, aber leider habe ich ja die Frage gestellt, und hab' da absolut keine Ahnung. Aber eines weiß ich mal:
Wir brauchen auf jeden Fall 3 Hardcover-Bücher um die Taschenbücher voneinander zu trennen... Na was meint ihr so dazu? 😂
  ─   nobrain32 17.05.2021 um 19:49

Guter Ansatz, vielleicht verrätst du uns woher die aufgabe stammt bzw. in welchem Kurs du bist...
  ─   fix 17.05.2021 um 19:59

Ja genau. Das ist doch schon mal gut :)
Jetzt würde ich das systematisch durchgehen. Wir haben auf jeden Fall die Anordnung
$$ 2121212 $$
Die restlichen 1 müssen irgendwie dazwischen oder daneben platziert werden.
Fangen wir erstmal an, wenn alle 3 nebeneinander sind. Dann haben wir wie viele Möglichkeiten?
$$ 1112121212 \quad \ldots $$
Dann überlegen wir uns das, wenn 2 nebeneinander bleiben und einer in einer anderen Lücke ist usw. Worauf kommst du?
  ─   christian_strack 17.05.2021 um 20:01

@fix
Ich studiere zurzeit und bin gerade im 2. Semester... Kurs: Mathematik ;-)


@christian_strack
Also wenn immer 3 Hardcover-Bücher nebeneinander stehen dürfen, dann haben wir
sozusagen nur 5 Möglichkeiten:

Hardcover=1 und Taschenbuch=2.

1.) [111] 2 1 2 1 2 1 2
2.) 2 1[111] 2 1 2 1 2
3.) 2 1 2 1[111] 2 1 2
4.) 2 1 2 1 2 1[111] 2
5.) 2 1 2 1 2 1 2 [111]


Wenn nur 2 Hardcover-Bücher nebeneinander stehen habe ich eigentlich auch nur 5 Möglichkeiten:

1.) [11] 2 1[1] 2 1 2 1 2
2.) 2 1[11] 2 1[1] 2 1 2
3.) 2 1 2 1[11] 2 1[1] 2
4.) 2 1 2 1 2 1[11] 2 [1]
5.) [1] 2 1 2 1 2 1 2 [11]

>> Ich habe immer jeweils das "Pärchen" an Bücher umklammert "[]" welches verschoben wurde.
  ─   nobrain32 17.05.2021 um 20:20

Hier fehlen auf jeden fall aber noch Anordnungen wie z.B.: 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2, usw.   ─   fix 17.05.2021 um 20:55

Ahja stimmt, dann hätte ich also nun folgendes:

1.) [11] 2 1[1] 2 1 2 1 2 .... [11] 2 1 2 1[1] 2 1 2 .... [11] 2 1 2 1 2 1[1] 2 .... [11] 2 1 2 1 2 1 2 [1]
2.) 2 1[11] 2 1[1] 2 1 2 .... 2 1[11] 2 1 2 1 [1] 2 .... 2 1[11] 2 1 2 1 2 [1] ... [1] 2 1[11] 2 1 2 1 2
3.) 2 1 2 1[11] 2 1[1] 2 .... 2 1 2 1[11] 2 1 2 [1] .... [1] 2 1 2 1[11] 2 1 2 .... 2 1[1] 2 1[11] 2 1 2
4.) 2 1 2 1 2 1[11] 2 [1] .... [1] 2 1 2 1 2 1[11] 2 .... 2 1[1] 2 1 2 1[11] 2 .... 2 1 2 1[1] 2 1[11] 2
5.) [1] 2 1 2 1 2 1 2 [11] .... 2 1[1] 2 1 2 1 2 [11] .... 2 1 2 1[1] 2 1 2 [11] .... 2 1 2 1 2 1[1] 2 [11]

===> 4 * 5 = 20 Möglichkeiten
  ─   nobrain32 17.05.2021 um 21:04

Ich denke ich bin jetzt auf dem richtigen Weg, mein vorheriger Ansatz war nur insofern richtig, als dass kein Taschenbuch an erster Stelle stehen konnte. Wenn man diese Möglichkeit jetzt noch addiert, nämlich, dass ein Taschenbuch am Anfang steht und die restlichen 9 Plätze durch 3 "Bündel" und 3 Hardcover belegt sind ergeben sich weitere Möglichkeiten: \(\frac{6!}{3! \cdot 3!}= 20\). Wenn man diese nun addiert erhält man 35 Möglichkeiten. Stimmt das soweit und ist das nachvolziehbar?   ─   fix 17.05.2021 um 21:05

Hm, also ich nehme ehrlich gesagt jede Antwort, die ich hier kriegen kann...😂

Es klingt logisch auf jeden Fall, alle Antworten, die ihr mir hier gegeben habt, sind auf jeden Fall logisch und gut durchdacht.
Ich sage auf jeden Fall schonmal Danke für eure Hilfe, es wird schon irgendwie passen! ;-)

Dafür bekommt ihr eine Kleinigkeit von mir als Dankeschön und zwar die nächste Frage... 😂
https://www.mathefragen.de/frage/q/0a2a42864a/grenzwert-beweis-kontrolle/

  ─   nobrain32 17.05.2021 um 21:14

Ja genau deine zweite Herangehensweise ist richtig. Das sind 20 Möglichkeiten. Nun brauchen wir noch die Fälle, in denen keine der restlichen nebeneinander ist. Das sind nochmal 10. Dann sind es insgesamt 35 Fälle.
Jetzt brauchen wir aber noch die Fälle, in denen wir die Bücher untereinander vertauschen. Denn so wie ich die Aufgabe verstehe, sind die Bücher unterscheidbar.
Also brauchen wir einmal die die Anzahl der Möglichkeit, in dem wir alle mit Hardcover vertauschen und die Taschenbücher vertauschen.
Diese 3 Ergebenisse müssen wir meines erachtens dann multiplizieren. Und das Ergebnis müsste die Lösung der Aufgabe sein.
  ─   christian_strack 17.05.2021 um 22:36

ich hatte es so verstanden, dass die Bücher alle gleich sind. Auch der Fragesteller hatte das so verstanden und daher die permutation gewählt, bei der durch die verschiedenen elemente geteilt wird...
  ─   fix 17.05.2021 um 22:45

Also ich muss sagen, die Aufgabe ist eigentlich ziemlich "gemein", denn es wurde auch recht dünn formuliert, also es enthält nicht wirklich sehr viele Informationen, daher habe ich hier auch angefangen mir hier recht viel zu interpretieren und auszudenken...

Ich Danke euch auf jeden Fall trotzdem für eure tolle Unterstützung und Zusammenarbeit! Ich werde mir alle drei Versionen/Lösungen notieren und mir anschauen, je mehr desto besser, nicht?

Vor allem es ist schon recht spät, wer will um diese Zeit schon Kombinatorik machen? Also ich nicht... Und jemand hat uns endlich von der Qual schon erlöst, jetzt können wir alle wieder unseren Alltag genießen...😂
  ─   nobrain32 17.05.2021 um 23:07

Ja stimmt schon. Ich hatte dir die Lösung aber auch oben schon in den Kommentaren präsentiert in einer, wie ich finde, eleganteren Art und Weise ;)   ─   fix 17.05.2021 um 23:12

Stimmt, Du hattest sozusagen schon davor den "richtigen" Riecher, dafür bekommst Du natürlich auch einen dicken Knutscher von mir! ;-)   ─   nobrain32 17.05.2021 um 23:31

Ah ja ok wenn die Bücher nicht zu unterscheiden sind, dann bliebt es bei den 35. :)
Sehr gerne.
  ─   christian_strack 17.05.2021 um 23:35

Und @christian_strack bekommt natürlich auch einen Bussi! Werde mir natürlich Deinen Lösungsweg trotzdem ansehen und schauen was ich da dann schönes herausbekomme! ;-)

  ─   nobrain32 17.05.2021 um 23:36

:D freut mich das wir die Lösung gefunden haben.   ─   christian_strack 18.05.2021 um 01:08

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2 Antworten
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Die Frage hat zwar schon eine Antwort, ich stelle aber trotzdem mal folgendes vor:

Setzte zuerst die Hardcover-Bücher \(H\) fest, dann gibt es \(7\) mögliche Plätze für die Taschenbücher \(T\)
\[\text{_}H\text{_}H\text{_}H\text{_}H\text{_}H\text{_}H\text{_}.\]
Da es \(4\) Taschenbücher gibt, gibt es somit \[\binom{7}{4}=35\] Möglichkeiten.

Man sieht somit auch leicht die Anzahl, wenn man die Bücher untereinander vertauscht:
\[6!\cdot \frac{7!}{(7-4)!}=604800.\]
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Student, Punkte: 240
 

Das ist ein "wenig" eleganter als meine Lösung :D
Sehr interessant!
  ─   christian_strack 18.05.2021 um 14:31

@ orbit: sehr schön
Bravo
  ─   elayachi_ghellam 18.05.2021 um 17:28

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Da hat es wohl noch jemand gewagt, die "dunkle und böse" Aufgabe zu lösen! :-D

Ich Danke Dir, dass Du mir auch Deine elegante Lösungsversion "serviert" hast und dazu noch kurz und knackig erklärt. Dafür bekommst Du natürlich auch einen Bussi! ;-)
  ─   nobrain32 18.05.2021 um 19:07

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@all: Danke für die Blumen :D   ─   orbit 18.05.2021 um 22:54

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Hallo,
Hier ist die Erklärung 

Gruß 
Elayachi Ghellam
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Elektrotechnik Ingenieur, Punkte: 1.44K
 

Oh wow, super schöne und tolle Schrift! Alle Achtung, da kann ich als Frau mit meiner Sauklaue leider nicht mithalten...
Vor allem wie Du das hier dargestellt bzw. gezeichnet, sehr übersichtlich und ordentlich!

Ich Danke Dir für die Ewigkeit! ;-)
  ─   nobrain32 17.05.2021 um 23:02

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Sehr gerne
Viel Erfolg
  ─   elayachi_ghellam 17.05.2021 um 23:13

Danke! Dir auch natürlich! ;-D   ─   nobrain32 17.05.2021 um 23:33

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