Du hast nichts falsch gemacht. Deine Ebenengleichung ist korrekt und auch die des Lehrbuchs. Auch wenn die Lösung nicht mit der Formel aufgestellt wurde die du gelernt hast. Eine Ebene kann durch viele verschiedenaussehende Ebenengleichungen beschrieben werden.
Drei Punkte spannen im Raum immer eine Ebene auf. Dabei können zwei der drei Vektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$ als Richtungsvektoren für die Ebenengleichung verwendet werden. Du kannst ja auch einen der drei Ortsvektoren $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ oder $\overrightarrow{OC}$ jeweils als Stützvektor der Ebene verwenden.

Beide Lösungen sind richtig (Abschreibe /Vorzeichenfehler bei dir, B (4/2/1), bei dir steht im Vektor -2)

das Buch verwendet einen ungewöhnlichen Vektor, warum auch immer, Verwirrung will man ja in einer Lösung eigentlich nicht stiften. Aber man darf das so machen, es sind Richtungsvektoren einer Ebene, von denen es "tausende" verschiedene gibt. Durch Linearkombination (hier Addition) von (3 5 4) mit (1 -2 3) kommt man auch auf deinen (4 3 4)