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Was heißt denn "das selbe Ergebnis"? Was ist das Ziel? Wenn das Ergebnis die Lösung des LGS ist, sind alle diese Operationen erlaubt und führen auf dieselbe Lösung.
Wenn das Ziel die Determinante der Matrix ist, sind nicht alle erlaubt.
Wenn das Ziel eine bestimmte Form der Matrix ist (z.B. Dreiecksform), sind nicht alle Operationen sinnvoll.
Auch wenn das Ziel eine numerisch genaue Berechnung der Lösung ist, sind nicht alle Operationen sinnvoll.
Auf der wikipedia-Seite ist der Algorithmus gut erklärt. Dort steht
"Ausreichend sind zwei Arten von elementaren Zeilenumformungen:
Es ist empfehlenswert sich von Anfang ein geordnetes Vorgehen anzugewöhnen, mit entsprechender Schreibweise (die in Deiner Frage ist gut, bleib dabei).
Wenn das Ziel die Determinante der Matrix ist, sind nicht alle erlaubt.
Wenn das Ziel eine bestimmte Form der Matrix ist (z.B. Dreiecksform), sind nicht alle Operationen sinnvoll.
Auch wenn das Ziel eine numerisch genaue Berechnung der Lösung ist, sind nicht alle Operationen sinnvoll.
Auf der wikipedia-Seite ist der Algorithmus gut erklärt. Dort steht
"Ausreichend sind zwei Arten von elementaren Zeilenumformungen:
- Eine Zeile oder das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren.
- Zwei Zeilen vertauschen."
Es ist empfehlenswert sich von Anfang ein geordnetes Vorgehen anzugewöhnen, mit entsprechender Schreibweise (die in Deiner Frage ist gut, bleib dabei).
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.1K
Lehrer/Professor, Punkte: 40.1K
Vorweg: Z2= 2*Z2-Z1 ist keine(!) der beiden oben genannten (Zitat aus wikipedia) Operationen.
Was DJ da genau meint, weiß ich auch nicht, müsste man ausprobieren (wozu ich keine Lust habe). Oft wird es in der Schule und Videos ungeordnet erklärt (man schaut dann mal, wo einfache Zahlen stehen). Dabei kann dann die Doppelmoppelei entstehen (die man aber erstmal nicht bemerkt). Und so ist es auch nicht programmierbar.
Auf wikipedia (und in gängigen Numerik-Büchern) ist der Algorithmus sauber und geordnet und programmierbar erklärt, und dadurch kann gar nichts doppelt gemoppeltes entstehen. Schau das Beispiel auf wikipedia an, da wird das Prinzip klar.
Damit kommt man auch sicher auf die Treppenform.
Mit Abweichungen von diesem geordneten Algorithmus kann es manchmal von Hand schneller gehen, aber stets mit dem Risiko des doppelt-moppeln. ─ mikn 07.02.2025 um 12:06
Was DJ da genau meint, weiß ich auch nicht, müsste man ausprobieren (wozu ich keine Lust habe). Oft wird es in der Schule und Videos ungeordnet erklärt (man schaut dann mal, wo einfache Zahlen stehen). Dabei kann dann die Doppelmoppelei entstehen (die man aber erstmal nicht bemerkt). Und so ist es auch nicht programmierbar.
Auf wikipedia (und in gängigen Numerik-Büchern) ist der Algorithmus sauber und geordnet und programmierbar erklärt, und dadurch kann gar nichts doppelt gemoppeltes entstehen. Schau das Beispiel auf wikipedia an, da wird das Prinzip klar.
Damit kommt man auch sicher auf die Treppenform.
Mit Abweichungen von diesem geordneten Algorithmus kann es manchmal von Hand schneller gehen, aber stets mit dem Risiko des doppelt-moppeln. ─ mikn 07.02.2025 um 12:06
Alles klar, danke dir.
Ich habe mir jetzt einfach folgende Variante angeeignet, die teilweise leider unschöne Brüche ausgibt, aber damit komme ich zumindest immer zu einem richtigen Ergebnis und kann so einheitlich für jede Zeile verfahren.
Beispiel:
Z2 = Z2 - Zähler aus Spalte der Z2/Nenner aus Spalte Z1 * Z1
Z3 = Z3 - Zähler aus Spalte der Z3/Nenner aus Spalte Z1 * Z1
Ausnahme natürlich, wenn die Zahlen so eindeutig sind, dass ich z.B. direkt Z3-Z1 rechnen kann (oder 2*Z3-Z1).
Grüße. ─ user81d1d4 07.02.2025 um 15:45
Ich habe mir jetzt einfach folgende Variante angeeignet, die teilweise leider unschöne Brüche ausgibt, aber damit komme ich zumindest immer zu einem richtigen Ergebnis und kann so einheitlich für jede Zeile verfahren.
Beispiel:
Z2 = Z2 - Zähler aus Spalte der Z2/Nenner aus Spalte Z1 * Z1
Z3 = Z3 - Zähler aus Spalte der Z3/Nenner aus Spalte Z1 * Z1
Ausnahme natürlich, wenn die Zahlen so eindeutig sind, dass ich z.B. direkt Z3-Z1 rechnen kann (oder 2*Z3-Z1).
Grüße. ─ user81d1d4 07.02.2025 um 15:45
Vlt meinst Du das richtige. Mit diesen beiden Operationen erzeugst Du Nullen in der ersten Spalte unter der Diagonalen.
Hier: Z2 := Z2 - 4/4 * Z1 und Z3 := Z3 - 8/4 * Z1
Auf dem Rechner gibt es keine unschönen Brüche. Und in diesem Beispiel auch bei der Rechnung von Hand (zumindest am Anfang) nicht.
Wie schon gesagt, von Ausnahmen, wenn irgendwas eindeutig ist, lass lieber die Finger.
─ mikn 07.02.2025 um 17:12
Hier: Z2 := Z2 - 4/4 * Z1 und Z3 := Z3 - 8/4 * Z1
Auf dem Rechner gibt es keine unschönen Brüche. Und in diesem Beispiel auch bei der Rechnung von Hand (zumindest am Anfang) nicht.
Wie schon gesagt, von Ausnahmen, wenn irgendwas eindeutig ist, lass lieber die Finger.
─ mikn 07.02.2025 um 17:12
danke für deine Antwort und entschuldigung, dass ich mich nicht mehr so deutlich ausformuliert habe.
Primär geht es um die Lösung eines LGS, gewünscht vom Dozenten in Treppenform nach Gauss.
Ich habe es gerade aber nochmal mit dem o.g. LGS probiert und - vermutlich war es gestern einfach schon zu spät - bin jetzt auf selbiges Ergebnis gestoßen.
Ich habe nur eine letzte Frage. Daniel Jung hat in seinen Videos mehrfach davon gesprochen (nicht doppelt gemoppelt ausführen). Aus dem Satz bin ich noch nicht schlau geworden.
Beispiel für einen genauen Kontext:
https://www.youtube.com/watch?v=eEtfsc9UaKc
Hier in seinem Video bei 3:30. Das sagt er auch öfter bei der Erklärung des Gauss-Verfahrens. Was genau darf hier nicht doppelt passieren? Vielleicht habe ich auch hier einfach nur ein "Brett vor dem Kopf" ;-) Lässt sich da eine Art "Regel" draus pauschalisieren, auf die man achten muss? In dem Video rechnet er ja Z2= 2*Z2-Z1 und Z3=Z3+Z2
Aber er meint dass man z.B. nicht Z2= Z2 + Z3 und dann Z3 = Z3+Z1 durchführen darf.
Was ist daraus grundsätzlich abzuleiten?
─ user81d1d4 07.02.2025 um 11:28