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Hallo,
gucken wir uns zuerst einmal an, was genau eine Verteilungsfunktion ist. Eine Funktion
$$ f: \mathbb{R} \to [0,1] $$
ist Verteilungsfunktion, wenn sie folgende Punkte erfüllt.
- monoton steigend
- rechtsseitig stetig
- \( \lim\limits_{x \to - \infty} f(x) = 0 \) und \( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 1 \)
Für welche Parameter gelten diese Eigenschaften? Als Tipp: Es gibt auf jeden Fall Werte für die Parameter, sodass die Funktion eine Verteilungsfunktion ist.
b) Zu jeder differenzierbaren Verteilungsfunktion, existiert auch eine Dichtefunktion. Wie stehen Verteilungsfunktion und Dichtefunktion miteinander in Verbindung?
c) Wie ist der Erwartungswert definiert? Wie ist der Median definiert?
Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Vielen Dank für die Antwort. Wie kann man bei a) die ersten drei Eigenschaften nachweisen?
─
FedericoCaadas
27.07.2020 um 14:17
Gucken wir uns erstmal die Monotonie an:
Was passiert denn mit steigenden \( x \) mit dem Term
$$ \frac 1 {1+bx^2} $$
Bedenke das wir diesen von \( a\) abziehen. Was passiert also mit steigendem \( x \) mit der Funktion?
Stetigkeit: Wenn eine Funktion stetig ist, dann ist sie sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig. Ist diese Funktion hier stetig?
Hier kommt es etwas auf eure Vorlesung an, aber ich denke du musst hier nicht so viel zeigen. Welche Stelle könnte den hier überhaupt Stetigkeits Probleme verursachen?
Grenzwert: Frag dich zuerst mal, was \( \mathbf{1}_{[0,\infty ]} \) bedeutet. Dann nimm dir mal den ersten Wert, für den die Indikatorfunktion nicht sofort Null wird. Für die Stetigkeit, muss für diesen Wert trotzdem Null herauskommen.
Hierdurch erhälst du die Information für die Parameter. ─ christian_strack 27.07.2020 um 14:51
Was passiert denn mit steigenden \( x \) mit dem Term
$$ \frac 1 {1+bx^2} $$
Bedenke das wir diesen von \( a\) abziehen. Was passiert also mit steigendem \( x \) mit der Funktion?
Stetigkeit: Wenn eine Funktion stetig ist, dann ist sie sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig. Ist diese Funktion hier stetig?
Hier kommt es etwas auf eure Vorlesung an, aber ich denke du musst hier nicht so viel zeigen. Welche Stelle könnte den hier überhaupt Stetigkeits Probleme verursachen?
Grenzwert: Frag dich zuerst mal, was \( \mathbf{1}_{[0,\infty ]} \) bedeutet. Dann nimm dir mal den ersten Wert, für den die Indikatorfunktion nicht sofort Null wird. Für die Stetigkeit, muss für diesen Wert trotzdem Null herauskommen.
Hierdurch erhälst du die Information für die Parameter. ─ christian_strack 27.07.2020 um 14:51
Für die Monotonie bedeutet das also das der Bruch immer kleiner wird und mit a subtrahiert gegen 1 konvergiert?
Stetigkeit ist ja auch vorhanden, weil bei einem Bruch mit 1 im Zähler ja keine diskreten Werte also werte mit keinen Nachkommastellen herauskommen. kann man dies einfach so Begründen? ─ FedericoCaadas 27.07.2020 um 15:41
Stetigkeit ist ja auch vorhanden, weil bei einem Bruch mit 1 im Zähler ja keine diskreten Werte also werte mit keinen Nachkommastellen herauskommen. kann man dies einfach so Begründen? ─ FedericoCaadas 27.07.2020 um 15:41
Bei der Monotonie liegst du schon mal richtig :) Wir haben einen festen Wert \( a \) und von dem ziehen wir mit steigendem \( x \) immer weniger ab. Das dieser gegen \( 1 \) konvergiert ist noch nicht gesagt, ist aber für die Monotonie auch noch nicht wichtig.
Jetzt müssen wir aber bei einem Punkt noch aufpassen. Nimm dir beispielsweise mal den Wert \( b= -2 \). Ist die Funktion wirklich monoton steigend? Welche erste Einschränkung finden wir hier?
Stetigkeit: Ich bin mir hier nicht sicher was du mit diskret und Nachkommastellen meinst. Wir erhalten hier auf jeden Fall Ergebnisse mit Nachkommastellen. Das müssen wir ja auch wenn wir das ganze Spektrum des Intervalls \( [0,1] \) abdecken wollen.
Aber bleiben wir mal beim Bruch. Gibt es hier Stellen, die nicht eingesetzt werden dürfen? ─ christian_strack 27.07.2020 um 15:50
Jetzt müssen wir aber bei einem Punkt noch aufpassen. Nimm dir beispielsweise mal den Wert \( b= -2 \). Ist die Funktion wirklich monoton steigend? Welche erste Einschränkung finden wir hier?
Stetigkeit: Ich bin mir hier nicht sicher was du mit diskret und Nachkommastellen meinst. Wir erhalten hier auf jeden Fall Ergebnisse mit Nachkommastellen. Das müssen wir ja auch wenn wir das ganze Spektrum des Intervalls \( [0,1] \) abdecken wollen.
Aber bleiben wir mal beim Bruch. Gibt es hier Stellen, die nicht eingesetzt werden dürfen? ─ christian_strack 27.07.2020 um 15:50
bei einem negativen b würde das ganze ja addiert werden und somit eine größerer Wert nach jedem Einsetzten von negativen Zahlen rauskommen. Daher darf b nicht negativ sein (?).
─ FedericoCaadas 27.07.2020 um 15:56
─ FedericoCaadas 27.07.2020 um 15:56
genau richtig. Damit haben wir die erste Parametereinschränkung gefunden.
Nun geht es weiter mit der Stetigkeit. Weißt die Funktion irgendeine Definitionslücke auf? ─ christian_strack 28.07.2020 um 10:54
Nun geht es weiter mit der Stetigkeit. Weißt die Funktion irgendeine Definitionslücke auf? ─ christian_strack 28.07.2020 um 10:54