Guten Tag,
ich hätte eine Frage bezüglich des Lösens komplexer Gleichungen. Auch nach längerem Suchen finde ich leider kein richtiges allgemeines Rezept das immer funktioniert und die Lösungen aus den Übungen finde ich immer etwas unverständlich.
Hier mal ein Beispiel: z^6 = \frac {-1}{2}\ + i\frac\{sqrt{3}}{2}\\ (Falls meine Formatierung nicht rightig klappt hier nochmal als Text: " z^6 = -1/2 + i * sqrt(3)/2 " )
Die Aufgabenstellung lautet: Geben Sie alle komplexen Lösungen folgender Gleichung in Polarkoordinatenform
z = re^{iϕ} an. Mein Ansatz wäre nun, das erst in Polarkoordinaten umzuwandeln. Also einmal:
r = sqrt{(1/2)^2 + (sqrt{3}/2)} = 1
ϕ: arctan(-sqrt{3}) = -pi/3
Hier hätte ich Frage 1) Wie komm ich von dem Ergebnis für ϕ nun auf den gesuchten Wert in Polarkoordinaten? Ich stelle mir immer den Einheitskreis vor und gucke ungefähr in welche Richtung das geht, aber ich würde es gerne verstehen :)
Es ergbit sich nun: z^6 = e^{\frac {2pi}{3}\} //Ohne Formatierung: z^6 = e^(2pi/3)
Jetzt könnte ich noch die sechste Wurzel ziehen ... Und jetzt? Wie ginge es jetzt weiter? Löst man das mit ln auf? Wonach formt man um? Ich sehe immer verschiedenste Vorgehen wie zum Beispiel: z^6 = e^{\frac {2pi}{3}\} * e^{\frac {i2pix}{n}} oder: z^6 * e^{i6ϕ} = e^{\frac {2pi}{3}\}
(Nochmal ohne Formatierung: z^6 = e^(2pi/3) * e^(i2PIx/n),
z^6 * e^(i6ϕ) = e^(2pi/3) Entschuldigung falls es etwas unordentlich ist, ich hoffe ihr versteht mein Problem trotzdem, vielen Dank:) )
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, vielen Dank :)