Daraus folgt \(a*e^{\lambda}=a*e^0=a\) ist (eine) Lösung der homogenen DGL.
In der Inhomogenität kommt ein Term der gleichen Art vor(40).. Man spricht hier von äußerer Resonanz.
Wie du leicht erkennst, würde der Lösungsansatz \(y_p=a\) nichts bringen (ist ja schon Lösung der homogenen DGL).
Deshalb wird im Fall von Resonanz ein x spendiert, also Ansatz \(y_p=a*x\)
Wäre \(\lambda\) eine n-fache Nullstelle müsstest du ein Polynom n- ten Grades \(P_n(x)\) vor \(e^{\lambda}x\) spendieren,also Ansatz \(y_p= P_n(x)*e^{\lambda x}\).
Dann den Ansatz \(y_p\) in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich machen.
Die anderen Nullstellen des char.Polynoms sind \(\lambda_{1,2}=-3 \pm i\)
Die zugehörigen homogenen Lösungen kommen in der Inhomogenität nicht vor. Keine Resonanz.\(\Rightarrow s =0\)
Das Thema hatten wir vor 2 Monaten schonmal.
War wohl vergeblich.
https://www.mathefragen.de/frage/q/c80a665bf6/inhomogene-diff-gl-2-ordnung/