Differentialgl, was ist dieses Alpha + Beta*i ??

Aufrufe: 41     Aktiv: 16.11.2021 um 07:27

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Guten Tag/Abend.... ich will Differentialgl. Lösen, und um zu kontrollieren ob ich den richtigen Weg/Lösung/Ansatz gewählt habe, gebe ich die Dgl immer in einen Online Rechner ein. Ich verstehe wie man auf die Lambdas kommt, wie hier zb auf 0 und +- i-3. Nur was ich wirklich absolut garnicht verstehe ist, was ich mit dem Alpha + Beta*i machen soll, bzw wie ich da auf 0 komme?? Und das s = 1 ist, weil ich bei 0 ein Lambda habe, also kommt zum Ansatz ein x dazu, also habe ich dann den Ansatz A*x ( also das x kommt dazu weil ich da Alpha + Beta*i = 0 habe, und 0 ein Lambda ist von mir)... nur wie komme ich da drauf? Versteh das jmd? :(

Danke und lg Xaver

Dgl
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\(\lambda=0 \) ist Nullstelle des char.Polynoms.
Daraus folgt \(a*e^{\lambda}=a*e^0=a\) ist (eine) Lösung der homogenen DGL.
In der Inhomogenität kommt ein Term der gleichen Art vor(40).. Man spricht hier von äußerer Resonanz.
Wie du leicht erkennst, würde der Lösungsansatz \(y_p=a\) nichts bringen (ist ja schon Lösung der homogenen DGL).
Deshalb wird im Fall von Resonanz ein x spendiert, also Ansatz \(y_p=a*x\)
Wäre \(\lambda\) eine n-fache Nullstelle müsstest du ein Polynom n- ten Grades \(P_n(x)\) vor \(e^{\lambda}x\) spendieren,also Ansatz \(y_p= P_n(x)*e^{\lambda x}\).
Dann den Ansatz \(y_p\) in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich machen.
Die anderen Nullstellen des char.Polynoms sind \(\lambda_{1,2}=-3 \pm i\)
Die zugehörigen homogenen Lösungen kommen in der Inhomogenität nicht vor. Keine Resonanz.\(\Rightarrow s =0\)
Das Thema hatten wir vor 2 Monaten schonmal.
War wohl vergeblich.
https://www.mathefragen.de/frage/q/c80a665bf6/inhomogene-diff-gl-2-ordnung/
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Aaahhh ok, jetzt verstehe ich was dieses „äußere Resonanz“ bedeutet... vielen dank, kenne mich nun aus   ─   xaverhauer 16.11.2021 um 07:27

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