Sehr schön, das ist fast perfekt!
Nur ganz am Ende: die geom. Reihe konv., falls \(\frac{|x|}2 <1\), d.h. in der Fallunterscheidung muss im ersten Fall \(|x|<2\) stehen. Und den zweiten muss man noch aufschlüsseln: einmal \(|x|\ge 2, x \neq -2\) gibt: \(\infty\) und zum anderen \(x=-2\): Reihe konv. nicht (ist aber auch nicht \(=\infty\)).
Üblich ist aber, den zweiten (und dritten) Fall wegzulassen und zu sagen \(f_4(x)= ...\) für \(|x|\le 2\), fertig.