Schreibt man $f(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^Na_nx^n$ und $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$ und setzt das jetzt ein, dann erhält man für $f'(x)$ insgesamt $$f'(x)=\lim_{h\to0}\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{n=0}^Na_nx^n-\sum_{n=0}^Na_n(x+h)^n}h=\lim_{h\to0}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nx^n-a_n(x+h)^n}{h}.$$
Die rechte Seite deiner Gleichung hingegen kann man so umschreiben: $$\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac d{dx}a_nx^n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\lim_{h\to0}\frac{a_nx^n-a_n(x+h)^n}{h}=\lim_{N\to\infty}\lim_{h\to0}\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nx^n-a_n(x+h)^n}h$$ Du siehst also, das sind genau die gleichen Ausdrücke, nur einmal wird zuerst der Limes von der Ableitung und dann der Limes von der unendlichen Summe genommen und einmal andersherum.
Etwas informeller sagt das: Es ist egal, ob du zuerst die unendliche Reihe aufsummierst und dann ableitest oder zuerst jeden Term ableitest und dann aufsummierst. Da beides einen Limes hat, kann man also die Reihenfolge dieser Limiten vertauschen.

Zum Schluss nochmal die Warnung, die auch dein Professor schon gesagt hat: In diesem Fall geht das, aber in den meisten Kontexten darf man Limiten nicht beliebig vertauschen, also z.B. keine Limiten aus unendlichen Summen oder Integralen ziehen. Es gibt unzählige Sätze dazu, die alles andere als trivial sind, die dir solche Vertauschungen in speziellen Situationen vertauschen, Potenzreihen sind eben ein solcher Fall (der noch relativ einfach ist)