Verständnisfrage, Differenzierbarkeit Potenzreihen

Aufrufe: 51     Aktiv: 13.06.2021 um 19:57

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Es geht um diesen Satz: Sei \( f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Dann hat auch die Potenzreihe \( \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n\cdot x^{n-1} \) den Konvergenzradius r, die Funktion f ist in allen \( x\in(-r,r) \) differenzierbar und es gilt:
$$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n\cdot x^{n-1}, \qquad x\in(-r,r)$$
Mein Prof hat dazu gesagt: "was dieser Satz effektiv macht, ist, dass er uns zwei Grenzwerte, nämlich den der Potenzreihe und den des Differenzquotienten, vertauschen lässt und dass das geht, ist eine seltene Sache." 
Leider hat er das nicht näher ausgeführt, aber ich würde es gerne verstehen.
Was ich weiß: Potenzreihen sind Grenzwerte, denn offensichtlich muss es rechts vom Sigma eine Nullfolge sein. Also ist die Potenzreihe ein Grenzwert. Der Differenzenquotient ist auch klar: statt der Tangente nimmt man sich eine Sekante und schickt x gegen das \( x_0 \), in dem man ableiten möchte.
Was ich nicht verstehe: inwiefern ist obiger Satz eine Vertauschung von diesen Grenzwerten?
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Schreibt man $f(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^Na_nx^n$ und $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$ und setzt das jetzt ein, dann erhält man für $f'(x)$ insgesamt $$f'(x)=\lim_{h\to0}\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{n=0}^Na_nx^n-\sum_{n=0}^Na_n(x+h)^n}h=\lim_{h\to0}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nx^n-a_n(x+h)^n}{h}.$$
Die rechte Seite deiner Gleichung hingegen kann man so umschreiben: $$\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac d{dx}a_nx^n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\lim_{h\to0}\frac{a_nx^n-a_n(x+h)^n}{h}=\lim_{N\to\infty}\lim_{h\to0}\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nx^n-a_n(x+h)^n}h$$ Du siehst also, das sind genau die gleichen Ausdrücke, nur einmal wird zuerst der Limes von der Ableitung und dann der Limes von der unendlichen Summe genommen und einmal andersherum.
Etwas informeller sagt das: Es ist egal, ob du zuerst die unendliche Reihe aufsummierst und dann ableitest oder zuerst jeden Term ableitest und dann aufsummierst. Da beides einen Limes hat, kann man also die Reihenfolge dieser Limiten vertauschen.

Zum Schluss nochmal die Warnung, die auch dein Professor schon gesagt hat: In diesem Fall geht das, aber in den meisten Kontexten darf man Limiten nicht beliebig vertauschen, also z.B. keine Limiten aus unendlichen Summen oder Integralen ziehen. Es gibt unzählige Sätze dazu, die alles andere als trivial sind, die dir solche Vertauschungen in speziellen Situationen vertauschen, Potenzreihen sind eben ein solcher Fall (der noch relativ einfach ist)
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Tatsächlich. Ich hab's sogar verstanden. Vielen Dank für die exzellente Erklärung.   ─   akimboslice 13.06.2021 um 19:57

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