Aufgabe zu Reihen

Aufrufe: 150     Aktiv: 30.11.2023 um 20:18
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Eine Frage:
Ich sollte das Konvergenzverhalten von einer Reihe prüfen:

Die Reihe war Σ (n+2)/(n^3 + 6n^2 + 12n + 8).
(Σ steht für die Summe von n = 1 bis unendlich)

Mein Ansatz: 
1. Notwendiges Kriterium (Nullfolgenkriterium):
Gilt lim((n+2)/(n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 0?
lim((n+2)/(n^3 + 6n^2 + 12n + 8))
= lim(1 + 2/n) lim(1/ (n^2 + 6n + 12 + 8/n) = 1 * 0 = 0 

2. Hinreichendes Kriterium/Kriterien:
Nun habe ich eine Majorantenreihe versucht zu finden:
Es gilt: Σ(n+2)/(n^3 + 6n^2 + 12n + 8)
< Σ (n+2)/(n^3) < Σ (n+2n)/(n^3)
= Σ 3 * 1/n^3 
Die Majorantenreihe Σ 3 * 1/n^3 ist ja hier die harmonische p-Reihe mit p = 3 und diese konvergiert. Nach dem Majorantenkriterium, konvergiert dann auch 
Σ(n+2)/(n^3 + 6n^2 + 12n + 8).

Ist das richtig?
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1 Antwort
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Ich weiß nicht genau was du beim Nullfolgenkriterium gemacht hast, aber faktorisiere doch einfach mal den Nenner (z.B. mit Polynomdivision) und dann kannst du Kürzen. Das macht es einfacher. Dann wird auch schnell klar das es sich um eine Nullfolge handelt. Außerdem sollte man auch schnell eine Majorante erkennen können.
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Ich habe jetzt die Polynomdivision gemacht und kam daher mit dem kürzen auf die Reihe Σ 1/ (n+2)^2 = Σ 1/ n^2 + 4n + 4 < Σ 1/n^2, also ist ja Σ 1/n^2 die Majorante welche konvergiert, wodurch die ursprüngliche auch nach diesem Kriterium konvergiert.

Ich hoffe ich hab es richtig verstanden   ─   user88de87 30.11.2023 um 09:48
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Das sieht gut aus 👍   ─   maqu 30.11.2023 um 10:43
Dankeschön :)   ─   user88de87 30.11.2023 um 20:11
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Wenn alles geklärt ist bitte abhaken, damit wir hier den Überblick behalten.👍   ─   maqu 30.11.2023 um 20:18

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