Exponential- und Logarithmusfunktion

Aufrufe: 92     Aktiv: 04.07.2022 um 21:40

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Die Aufgabe lautet:

Gegeben sind f(x)=ln(x) und g(x)=e/x für x>0

b) Zeigen Sie, dass die Funktion h mit h(x)= f(x) - g(x) streng monoton zunehmend ist. Folgern sie daraus, dass x_0= 3 einzige Schnittstelle der beiden Graphen ist.


Die Antwort in der Lösung zum Teil der Schnittstelle der Graphen lautet:

... der Graph h(x) ist somit streng monoton zunehmend. Daher kann h nur die Nullstelle x = e haben und damit die Graphen von f und g nur die Schnittstelle x = e.


Problem:
Die Bestimmung des Monotonieverhalten kann ich noch verstehen, allerdings kapier ich nicht ganz, wie man vom Monotonieverhalten des Graphen h(x) auf die Nullstelle und somit dann auch auf die Schnittstelle von f(x) und g(x) schließen kann.

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1 Antwort
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Du erstellst die Hilfsfunktion \(h(x)\) die die Differenz an jedem Punkt angibt. Diese ist streng monoton steigend (was heißt das?).
Die Nullstelle erfährst du nicht direkt daraus, kannst sie aber gut raten. Wie kannst du \(h(x)=f(x)-g(x)\) und deren Eigenschaft verwenden, um auf die Schnittstelle von f und g zu schließen.
Das ist alles nicht schwer. Beantworte jede der aufgeworfenen Fragen und die Antwort ergibt sich von selbst.

Edit: Wie berechnet man eine Schnittstelle zweier Graphen, was hat dies mit h zutun?
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also hab versucht mir alle Fragen zu beantworten, auf die Lösung komm ich aber trotzdem nicht   ─   xxxuntalentiert 04.07.2022 um 20:12

In der Aufgabe steht doch schon, was die Nullstelle ist. Du musst also nur zeigen, dass diese Stelle eine Nullstelle ist. Warum sie die einzige ist, ergibt sich aus der Monotonie.   ─   cauchy 04.07.2022 um 20:34

In der Aufgabe steht überhaupt nicht, was die Nullstelle ist, das ist die Lösung
  ─   xxxuntalentiert 04.07.2022 um 21:31

"Folgern Sie daraus, dass $x_0=\mathrm{e}$ einzige Schnittstelle der beiden Graphen ist." Das ist doch noch die Aufgabenstellung! Dort muss außerdem $\mathrm{e}$ stehen und nicht 3.   ─   cauchy 04.07.2022 um 21:39

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