Induktionsbeweise

Aufrufe: 712     Aktiv: 12.02.2021 um 15:19
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Hallo, ich habe Probleme mit folgenden Aufgaben:
Mit Induktion würde ich diese Beweisen, jedoch bekomme ich den Induktionsschritt bei beiden nicht hin. Kann mir da jemand helfen?
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Student, Punkte: 59

 
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Diese Aufgabe sieht so aus, als wäre sie eine Übung zum Binomischen Lehrsatz. Falls das so ist, dann brauchst du keine Induktion. Für die (a) reicht es, \(0=(1+(-1))^n\) mit dem Binomischen Lehrsatz zu berechnen. Für die (b) berechnest du am besten zuerst so ähnlich \(\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n\), wie es auch maqu schon vorgeschlagen hat. Schau dann, wie du dieses Ergebnis und das von (a) kombinieren kannst.
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verstehe leider bisher immer noch nicht, wie ich da rangehen soll. Verstehe den Binomischen Lehrsatz nicht   ─   milchshake08 11.02.2021 um 11:53
Die Aussage vom Binomischen Lehrsatz ist ja \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^ky^{n-k}\). Jetzt setze doch mal \(x=1\) und \(y=-1\) ein.   ─   stal 11.02.2021 um 12:00
Da kommt bei mir -1 raus   ─   milchshake08 11.02.2021 um 12:57
Das kann ich nicht nachvollziehen. Links steht doch \((x+y)^n=(1+(-1))^n=(1-1)^n=0^n=0\). Was kommt rechts raus, wenn du das einsetzt und vereinfachst?   ─   stal 11.02.2021 um 13:44
bei der linken Seite kommt bei mir -1 raus..., wenn ich für n=1 und k=0 einsetzte und x=1 und y=-1   ─   milchshake08 11.02.2021 um 14:58
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Du darfst \(k\) nicht wählen, das ist ja dein Summationsindex. \(n\) darst du auch nicht wählen, denn wir wollen die Aussage ja für alle \(n\) zeigen, nicht nur für ein spezielles. Du kommst einfach auf \(\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^k1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^k\), also genau, was du zeigen solltest.   ─   stal 11.02.2021 um 15:07
ach so okay, habe es jetzt verstanden, aber muss man das dann bei der b) anders machen?   ─   milchshake08 11.02.2021 um 15:12
Du erhälst eine ähnliche Eigenschaft wie in der (a), wenn du \(x=y=1\) in die Formel einsetzt: \(2^n=(1+1)^n=\ldots\). Addiere bzw. substrahiere dann das Ergebnis aus (a) davon.   ─   stal 11.02.2021 um 15:15
ich hab nochmal eine Frage: warum können wir hier für x 1 nehmen und für y -1?
   ─   milchshake08 12.02.2021 um 13:38
Warum sollte das nicht gehen? Der Binomische Lehrsatz gilt für alle \(x,y\in\mathbb R\).   ─   stal 12.02.2021 um 15:19

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Bei (1) möchtest du im IS ja zeigen \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \binom{n+1}{k} =0}\)! Verwende dabei zunächst die folgende Beziehung des Binomialkoeffzienten \(\displaystyle{\binom{n+1}{k+1}} =\binom{n}{k} +\binom{n}{k+1}\) innerhalb der Summe. Dann kannst du die Summe in zwei Summen aufteilen. Mache bei der zweiten Summe eine Indexverschiebung. Wandle deine Summen dann so um, damit du deine IV einsetzen kannst. Wenn du Summanden herausziehst, damit die Summe nur bis \(n\) läuft oder du Summanden hinzuaddierst, damit die Summe bei Null startet, bedenke, dass \(\displaystyle{\binom{n}{k}=0}\) für \(k<0\) bzw. \(k>n\) gilt. Schreibe mit den Hinweisen erstmal deinen IS soweit auf wie du kommst. Wenn du nicht weiter weist, frage einfach nach.

Bei (2) überlege warum es reicht, wenn du \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n}\) per Induktion zeigst? Gehe dabei ähnlich wie in (1) vor.

Mache dir vielleicht auch klar, was die beiden Behauptungen über das Pascal'sche Dreieck aussagen.


Hoffe das hilft weiter.
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Bekomme das irgendwie leider gar nicht hin...   ─   milchshake08 08.02.2021 um 15:49

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