Sparsame Rechteckhalbierung

Erste Frage Aufrufe: 296     Aktiv: 05.09.2023 um 00:17

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Ein Rechteck mit den Seiten a und b soll durch eine möglichst kurze Linie halbiert werden. Die Linie soll in einem Eckpunkt beginnen. Ist b=0,5*a*pi, so ist die Linie vermutlich der Viertelkreis. Ist b noch größer, so könnte man vermuten, dass durch Streckung aus dem Kreis eine Ellipse wird, aber lässt sich das berechnen?
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Aus dem Kreis wird, wenn \(b > \frac{\pi a}{2}\), keine Ellipse. Warum? Nun, bekanntermaßen ist der Kreis diejenige Figur, die bei gegebenem Volumen die kürzeste Randlinie hat. Mit ein bisschen Hin- und Hertricksen kann man daraus herleiten, dass die trennende Kurve, zumindest dort, wo sie nicht den Rechecksrand berührt, ein Kreisbogen sein muss.

Deine Vermutung mit dem Viertelkreis ist also schon mal richtig!

Die trennende Kurve darf natürlich auch am Rechecksrand entlanglaufen, muss sie aber nicht.

Man kann o.B.d.A annehmen, dass \(a\le b\).

Das Rechteck kann man wie folgt in ein Koordinatensystem plazieren:
1. Ecke bei (0,0)
2. Ecke bei (a,0)
3. Ecke bei (a,b)
4. Ecke bei (0,b)

Die Kurve startet zunächst (0,0). Dann steigt sie senkrecht nach oben bis \( (0,y_0) \).
\(y_0\) ist noch unbekannt.
Dort biegt sie nach rechts ab. Ab dort wird sie durch eine stetige Funktion \(f:[0,a]\rightarrow \mathbb{R}^2\) modelliert mit \(f(0) = (0,y_0)\).

Diese Kurve teilt das Rechteck in zwei Teile:
1. Diejenigen Punkte (x,y) des Rechtecks, für die \( y \le f(x) \) gilt
2. Diejenigen Punkte (x,y) des Rechtecks, für die \(y > f(x) \) gilt

Der erste Teil muss nun halb so groß sein wie das Rechteck, also gilt
\( \int_0^a f(x) dx = \frac{ab}{2} \)

Unter dieser Nebenbedingung muss dann f so bestimmt werden, dass die Kurvenlänge minimal wird.
Die Kurvenlänge ist die Länge des senkrechten Stückes + Kurvenlänge von f.
Für die Kurvenlänge von f gibt es eine Formel:

\( \int_0^a \sqrt{1+(f'(x))^2} \,dx \)

Funktionen, die irgendwas minimieren, kann man mit der sog. Variationsrechnung bestimmen.
Minimierung unter Nebenbedingungen geht mit Lagrange-Multiplikatoren, und man kann Lagrange-Multiplikatoren mit der Variationsrechnung kombinieren.

So, das wäre erstmal die grobe Richtung.
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Vielleicht sollte man bei dieser Aufgabe ein bisschen wie ein Physiker denken, und nicht wie ein Mathematiker.

Merke:
1. Mathematik ist die Kunst, so faul wie möglich zu sein.
2. Physiker sind die besseren Mathematiker.

Die  Varationsrechnung kann man sich im Grunde genommen sparen, weil: Das Ergebnis wird sein: Kreisbögen minimieren die Bogenlänge. Und da man das Ergebnis schon kennt, weiß man: Die Kurve ist Kreisbögen, wenn sie sich nicht gerade am Rechtecksrand entlangläuft.

Dann kann man sich überlegen, wie der Winkel zwischen Trennkurve und rechtem Rechteckrand aussieht. Dazu spiegelt man das ganze Problem am Rechteckrand, und betrachtet originales und gespiegeltes Rechteck als ganzes. Dann übersetzt man Minimierungsaufgabe in dieses Gesamt-Rechteck \( [0,2a] \times [0,b] \). Das sieht dann so aus:

Finde eine Kurve, die durch die Punkte \( (0,0) \) und \( (0,2a) \) geht, so dass die Fläche zwischen dieser Kurve und der y-Achte \( ab \) beträgt.

Das ist - nach dem oben gesagten - ein Kreisbogen, mit Maximim genau in der Mitte, bei x=a.

Wenn \( y_0=0 \) ist, dann kann man f als Kreisbogen ansetzen, welcher ein Maximum bei x=a hat, und diesen dann mit den Gleichungen
\(f(0)=f(2a)=0,\; \int_0^{2a} f(x)\,dx = ab \)
bestimmen.

Wenn \( y_0>0 \) ist, dann hat eine zusätzliche Unbekannte, nämlich \( y_0\). Also braucht es eine zusätzliche Gleichung.

Die liefert der Kontaktwinkel zwischen dem linken Rechtecksrand und der Kurve. Man stelle sich die Fläche unter f als Flüssigkeit vor. Dann kann man den Kontaktwinkel mit der Youngschen Gleichung ausrechnen, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kontaktwinkel#Young-Kontaktwinkel:

\( \cos(\theta_Y) = \frac{\gamma_{SG}-\gamma_{SL}}{\gamma_{LG}} \)

wobei
  • \(\gamma_{SG}\) die Oberflächenspannung der nicht benetzen Fläche ist. Oberhalb von f soll aber keine Flüssigkeit sein, also ist \(\gamma_{SG}=0\).
  • \(\gamma_{SL}\) die Grenzflächenspannung zwischen der benetzten Festkörperoberfläche und der benetzenden Flüssigkeit ist. Da am Rechecksrand die Länge zählt, ist \(\gamma_{SL}\) die Oberflächenspannung der benetzenden Flüssigkeit ist.
  • \(\gamma_{LG}\) die Oberflächenspannung der benetzenden Flüssigkeit ist.
Dann ist
\( cos(\theta_Y) = \frac{0-(\mbox{ Oberflächenspannung der benetzenden Flüssigkeit})}{\mbox{ Oberflächenspannung der benetzenden Flüssigkeit}} = -1\)
also
\(\theta_Y = \pi\)

Also ist hier kein Knick zwischen Kreisbogen und linkem Rechtecksrand, \(f'(0)=\infty\).
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@m.simon.539 und erneut möchte ich dich auf den Kodex hinweisen, den du anscheinend nicht gelesen hast. Du gibst mehrere Antworten auf die gleiche Frage, du kannst deine Frage auch einfach bearbeiten und deinen Edit beifügen. Wie das funktioniert weist du ja anscheinend, so häufig wie du deine Antworten überarbeitet hast. Und als Tipp unter Helfern, versuche dich kurz zu halten und dem Fragy nicht zu viel das Denken abzunehmen. Orientiere dich z. B. daran wie andere Helfer hier Hilfestellungen geben. Und wenn du was vorrechnest dann doch vielleicht an einem Beispiel was analog zu dem aus der Frage ist.   ─   maqu 02.09.2023 um 19:59

??? Den Kodex habe ich gelesen.
Davon, dass ich nur eine Antwort geben soll, steht da nix - ich habe halt zweimal geglaubt, etwas Neues beitragen zu können - drum habe ich zwei Antworten gegeben, in bester Übereinstimmung mit Punkt 3 des Codex übrigens.
??? Das einige Mal, da ich was vorrechtete - den Zirkus mit cos - gilt auch für das genannte Beispiel.
Ich weiß echt nicht, was du willst, sorry. Kann man sich irgendwo deregistrieren lassen? Ich will hier raus!
  ─   m.simon.539 03.09.2023 um 00:35

@m.simon.539 tut mir leid wenn du dich angegriffen fühlst, das war nicht meine Absicht. Kurzfassung meiner Aussage „weniger ist manchmal mehr“. Mit dem Vorrechnen bezog ich mich eher auf die Antwort dieser Frage https://www.mathefragen.de/frage/q/e44a4be49d/was-waren-mogliche-losungen/ , bei welcher du übrigens auch zwei Antworten gegeben hast, obwohl man das auch in die Kommentare schreiben kann.   ─   maqu 03.09.2023 um 01:03

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Immer diese Überempfindlichkeit der Leute... Man sollte - bevor man solche Antworten gibt - auch erstmal abklären, auf welchem Niveau sich das Fragy befindet und nicht nur zeigen "wie toll" man selbst ist...   ─   cauchy 03.09.2023 um 01:06

Sagt mal Leute, muss dieses unsachliche Gequake wirklich sein?

Ich habe überhaupt nicht vor zu zeigen, wie toll ich bin! Was soll diese dämliche Unterstellung? Das habe ich gar nicht nötig. Ich habe in meinem Leben genug Gelegenheiten gehabt, meine mathematischen Fähigkeiten unter Beweis zu stellen!

Auf welchem Niveau sich der "Fragy" befindet, erkennt man doch schon an der Frage, oder nicht? Die Frage ist schon recht schwer, die Lösung erfordert anspruchsvolle Mittel, entsprechend hoch ist eben das Niveau der Antwort. Wenn ich mich dadurch mit Ruhm bekleckert haben sollte und Euch das stört - sorry Leute, Euer Problem!

Und wenn ein Satz mit "Und erneut" anfängt, und die Kritik ungerechtfertigt ist, ist das natürlich ein Angriff! Nach dem Motto: "Der Simon hat's immer noch nicht kapiert!"!

Ist es nun erlaubt, mehrere Antworten auf eine Frage zu geben oder nicht? Wenn nein => Rein in den Codex! Wenn ja => Dann gebt Ruhe!
  ─   m.simon.539 03.09.2023 um 05:30

Ich Versuch mich kurz zu fassen. Nach meiner Auslegung ist Punkt 3 so zu verstehen, das man nicht eine Antwort geben soll sofern jemand anders bereits eine mit ähnlichem Inhalt geliefert hat. Manchmal kommt es auch zu Antwortendopplung wenn man zeitgleich zu jemand anderem seine Antwort gibt, das passiert halt. Selbst zwei Antworten zu geben ist Auslegungssache, persönlich verstehe ich es aber nicht. Antwort bearbeiten und zu sagen „alternativ …“ reicht doch meines Erachtens. Wenn du es machen willst, dann mach es halt. Du musst aber zugeben, und da stimme ich cauchy zu, dass es schon so rüberkommt das man sich gerne selbst reden hört wenn man fünf Antworten auf drei Fragen gibt.
Und nun zu dem anderen, wir quaken nicht und den Mund hast du uns bitte auch nicht zu verbieten. Im Forum kann jeder seine Meinung äußern, damit musst auch du klarkommen. Wichtig ist dabei die Nettikette zu bewahren. Kritik ist nicht immer gleich ein Angriff auf die Person. Wie man mit der Kritik umgeht ist entscheidend. Da ich nun gemerkt habe wie empfindlich du diesbezüglich zu sein scheinst, verkneife ich mir zukünftig auf deine Antworten zu reagieren.
  ─   maqu 03.09.2023 um 07:35

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Das Niveau der Frage gibt keinen Aufschluss über das Niveau des Fragys. Es kann ja sein, dass es sich hier um ein Alltagsproblem handelt, wo erstmal völlig unklar ist, dass es auf einfachem Wege - zum Beispiel nur mit reiner Schulmathematik - lösbar ist. Der Kontext der Frage und somit das vorhandene Grundwissen ist also völlig unklar.   ─   cauchy 03.09.2023 um 10:41

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