Vollständige Induktion

Erste Frage Aufrufe: 73     Aktiv: 16.04.2021 um 17:12

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Hallo zusammen, ich stecke gerade bei folgender Aufgabe fest:


Mein Ansatz:




Das Ergebnis ist: 1 - 2/(n+2)*(n+3)

Ich müsste als nächstes alles was im Zähler ist, also: 2*(n+3) +4  ausmultiplizieren, aber wenn ich das mache komme ich zu keinem Ergebnis.
Vorab danke für jede Hilfe
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1 Antwort
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1  Induktionsanfang nicht vergessen.  (aber für n = 1 gilt die Gleichung)
Für n+1 lautet die Summe: \(\sum_{k=1}^{n+1}{4 \over k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^n{4 \over k(k+1)(k+2)}+ {4 \over (n+1)(n+2)(n+3)}\)
Induktionsannahme eingesetzt ergibt: \( 1-{2 \over (n+1)(n+2)}+{4 \over (n+1)(n+2)(n+3)} =1 -{2(n+3) \over (n+1)(n+2)(n+3)} + {4 \over (n+1)(n+2)(n+3)}=1-{ 2n+6 -4 \over (n+1)(n+2)(n+3) } =1- {2(n +1) \over (n+1)(n+2)(n+3)}=1-{2 \over (n+2)(n+3)}\) q.e.d.
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Danke erstmal für die Hilfe ! Den Induktionsanfang habe ich bewusst weggelassen, weil ich diesen schon beherrsche. Meine Frage betrifft nun die Induktionsannahme, genauer gesagt die vorletzte Zeile. Wie kommen Sie darauf im Zähler statt +4 das Vorzeichen zu ändern ? Also: 2n+6-4
Wie entsteht die -4 ?
Den Rest habe ich verstanden.
  ─   jk97 16.04.2021 um 15:27

scotchwhisky hat bei den beiden Brüchen ein -1 ausgeklammert, um den Nenner positiv zu halten, der Rest folgt daraus
PS: sorry das ich mich einmische
  ─   fix 16.04.2021 um 15:39

Das heißt: -1 auf beiden Zähler der Brüche ? Dann würde 2n+6-4 entstehen, aber die Erklärung ist mir nicht geläufig. Warum um die Nenner positiv zu halten ? Die bleiben doch positiv.   ─   jk97 16.04.2021 um 16:24

Genau, es ist 2n+6-4 geworden. Hätte man die -1 nicht ausgeklammert wäre der Nenner der Brüche einfach -2n-2 gewesen. Spätestens hier klammert man die -1 aus   ─   fix 16.04.2021 um 17:12

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