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1 Induktionsanfang nicht vergessen. (aber für n = 1 gilt die Gleichung)
Für n+1 lautet die Summe: \(\sum_{k=1}^{n+1}{4 \over k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^n{4 \over k(k+1)(k+2)}+ {4 \over (n+1)(n+2)(n+3)}\)
Induktionsannahme eingesetzt ergibt: \( 1-{2 \over (n+1)(n+2)}+{4 \over (n+1)(n+2)(n+3)} =1 -{2(n+3) \over (n+1)(n+2)(n+3)} + {4 \over (n+1)(n+2)(n+3)}=1-{ 2n+6 -4 \over (n+1)(n+2)(n+3) } =1- {2(n +1) \over (n+1)(n+2)(n+3)}=1-{2 \over (n+2)(n+3)}\) q.e.d.
Für n+1 lautet die Summe: \(\sum_{k=1}^{n+1}{4 \over k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^n{4 \over k(k+1)(k+2)}+ {4 \over (n+1)(n+2)(n+3)}\)
Induktionsannahme eingesetzt ergibt: \( 1-{2 \over (n+1)(n+2)}+{4 \over (n+1)(n+2)(n+3)} =1 -{2(n+3) \over (n+1)(n+2)(n+3)} + {4 \over (n+1)(n+2)(n+3)}=1-{ 2n+6 -4 \over (n+1)(n+2)(n+3) } =1- {2(n +1) \over (n+1)(n+2)(n+3)}=1-{2 \over (n+2)(n+3)}\) q.e.d.
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scotchwhisky
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12.68K
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scotchwhisky hat bei den beiden Brüchen ein -1 ausgeklammert, um den Nenner positiv zu halten, der Rest folgt daraus
PS: sorry das ich mich einmische ─ fix 16.04.2021 um 15:39
PS: sorry das ich mich einmische ─ fix 16.04.2021 um 15:39
Das heißt: -1 auf beiden Zähler der Brüche ? Dann würde 2n+6-4 entstehen, aber die Erklärung ist mir nicht geläufig. Warum um die Nenner positiv zu halten ? Die bleiben doch positiv.
─
jk97
16.04.2021 um 16:24
Genau, es ist 2n+6-4 geworden. Hätte man die -1 nicht ausgeklammert wäre der Nenner der Brüche einfach -2n-2 gewesen. Spätestens hier klammert man die -1 aus
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fix
16.04.2021 um 17:12
Wie entsteht die -4 ?
Den Rest habe ich verstanden. ─ jk97 16.04.2021 um 15:27