Ich weiß, dass Du b) meintest. Aber um Deine Antwort von b) zu beurteilen, müssen wir auch a) lösen und die Determinante berechnen. Und wenn Du das schon gemacht hast, müssen wir es nicht nochmal rechnen. Wir mögen es, wenn Du uns das Helfen einfach machst (indem Du alle Info lieferst, Deine Zwischenergebnisse und Rechnungen).
Also: Deine Determinante stimmt. Und die Frage in b) ist ja, wann det=0 gilt, und das hast Du auch richtig beantwortet. Mehr ist in b) nicht zu tun. Fertig.
Was Du da mit $t,\alpha,\beta,\gamma$ machst, weiß ich nicht. Auch für c) ist das nicht nötig. In c) ist ein konkretes LGS zu lösen. Mach das, kriegst Du bestimmt hin.

Zu erst einmal sehen wir, dass Teil b) aus Teil a) folgt: 

Wir haben 

$$\det(v_1,v_2,v_3)=p(a),$$

wobei $p(a)$ ein Polynom dritten Grades in $a$ ist, also $p(a)=c_3a^3+c_2a^2+c_1a+c_0$ mit $c_i$ für $0 \leq i \leq 3$. Dann weißt du, dass 

$$ M=(v_1,v_2,v_3)$$

vollen Rang hat, genau dann wenn die $v_i$ linear unabhängig ist. Weiterhin hat $M$ genau dann vollen Rang, wenn $\det M \neq 0$ also wenn $p(a) \neq 0$. Die Menge aller $a \in \mathbb{R}$, so dass $p(a) \neq 0$, sind genau die Werte die du suchst. Sprich die gesuchte Menge ist 

$$\mathbb{R} \setminus \{ a \in \mathbb{R} \mid p(a)=0 \}$$.

Ich bin mir sicher, diese kann man weiter vereinfachen. Teil $c)$ suggereriert dir ja schon, dass $a=1$ eine gesuchte Nullstelle ist.