Lineare un-/abhängigkeit

Aufrufe: 265     Aktiv: 16.08.2023 um 23:12

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Ich habe bei dieser Aufgabe teil "b)" folgendes raus. Stimmt das?
für a = 1 v a = -2 
sei gamma = t

Sonst gamma = beta = alpha = 0.

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Student, Punkte: 107

 

Bitte vollständige Info: Wie ist Dein Ergebnis zu a)? Und in der Aufgabe gibt es kein $\alpha,\beta,\gamma, t$.   ─   mikn 16.08.2023 um 08:36

Ich meinte zu b)
für a) also det(M) hatte ich a²+a-2
bei b) sollten für bestimmen für welche werte von a die Vektoren linear abhängig sind. Also hab ich α*v1 + β*v2 + γ*v3 genommen. Dann habe ich den Linearen Gleichungssystem nach Gaußverfahren gelöst und hatte für a = 1 v a = -2 sind die Vektoren linear abhängig. Dann hab ich γ = t gesetzt um auf eine allgemeine Formel für α und β zu kommen und das ist das was im Bild steht mit t*((-2-a)/a, 1, 1). für sonstige werte ist γ = 0 und somit γ = β = α = 0
  ─   omran_m765 16.08.2023 um 19:49
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Ich weiß, dass Du b) meintest. Aber um Deine Antwort von b) zu beurteilen, müssen wir auch a) lösen und die Determinante berechnen. Und wenn Du das schon gemacht hast, müssen wir es nicht nochmal rechnen. Wir mögen es, wenn Du uns das Helfen einfach machst (indem Du alle Info lieferst, Deine Zwischenergebnisse und Rechnungen).
Also: Deine Determinante stimmt. Und die Frage in b) ist ja, wann det=0 gilt, und das hast Du auch richtig beantwortet. Mehr ist in b) nicht zu tun. Fertig.
Was Du da mit $t,\alpha,\beta,\gamma$ machst, weiß ich nicht. Auch für c) ist das nicht nötig. In c) ist ein konkretes LGS zu lösen. Mach das, kriegst Du bestimmt hin.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.16K

 

Achsooo. Ok ich habe mir dann bei b) unnötige Arbeit gemacht mit LGS aufstellen und so. Danke für den Hinweis.
Ich habe bei c) den LGS gestellt und es kam raus α = 3 und β = -1.
  ─   omran_m765 16.08.2023 um 20:43

Du redest schon wieder von $\alpha,\beta$, die gibt es in der Aufgabe nicht. Wenn Du neue Bezeichnungen einführst, musst *DU* sie erklären und nicht dem Leser als Rätsel aufgeben.
Achte auf die Aufgabenstellung: "Stellen Sie ... als Linearkombination ... dar." Mach das, genau das (und nichts anderes, wenn Du in der Klausur volle Punktzahl haben willst). Hast Du noch nicht getan.
  ─   mikn 16.08.2023 um 20:59

3*v1 - v2 = v3
3(1, 0, 1) - (2, 1, 1) = (1, -1, 2) Jetzt aber oder😅
  ─   omran_m765 16.08.2023 um 22:01

Ja, sehr schön. Und erstaunlich, es geht ganz ohne $\alpha,\beta$ usw. ;-)   ─   mikn 16.08.2023 um 23:12

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Zu erst einmal sehen wir, dass Teil b) aus Teil a) folgt: 

Wir haben 

$$\det(v_1,v_2,v_3)=p(a),$$

wobei $p(a)$ ein Polynom dritten Grades in $a$ ist, also $p(a)=c_3a^3+c_2a^2+c_1a+c_0$ mit $c_i$ für $0 \leq i \leq 3$. Dann weißt du, dass 

$$ M=(v_1,v_2,v_3)$$

vollen Rang hat, genau dann wenn die $v_i$ linear unabhängig ist. Weiterhin hat $M$ genau dann vollen Rang, wenn $\det M \neq 0$ also wenn $p(a) \neq 0$. Die Menge aller $a \in \mathbb{R}$, so dass $p(a) \neq 0$, sind genau die Werte die du suchst. Sprich die gesuchte Menge ist 

$$\mathbb{R} \setminus \{ a \in \mathbb{R} \mid p(a)=0 \}$$.

Ich bin mir sicher, diese kann man weiter vereinfachen. Teil $c)$ suggereriert dir ja schon, dass $a=1$ eine gesuchte Nullstelle ist.

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