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Kern einer Nullmatrix

Aufrufe: 2800 Aktiv: 14.08.2020 um 16:17

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Hallo,

was ist der Kern dieser Nullmatrix? Habe ich 3 freie Variablen? Also ist der Kern einfach (1 1 1)^T-??

Lg Sebastian

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gefragt 14.08.2020 um 12:44

kamil
Student, Punkte: 370

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christian_strack · Accepted Answer · 2020-08-14T13:40:34Z

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Hallo,

überlege dir das noch erstmal ohne zu rechen, welche Vektoren im Kern liegen müssten?

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ liegt innheralb des Kerns. Aber noch viele mehr. Tatsächlich sogar unendlich viele weitere.

Dein Ansatz geht auf jeden Fall schon mal in die richtie Richtung. Warum kannst du hier 3 freie Parameter wählen? Und wie wählst du die?

Grüße Christian

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geantwortet 14.08.2020 um 13:40

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Wenn ich überlege, ohne zu rechnen, welche Vektoren im Kern liegen müssten, wären das vielleicht (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1), (1 1 0), (0 1 1) etc. ?

Drei frei wählbare Parameter kann ich wählen, weil keine Spalte der Matrix ein Pivotelement hat. Ich wähle für diese Parameter (1 1 1), das hatte ich zumindest vor, deswegen meine Lösung (1 1 1) ^^
Aber ich kann auch ganz simple (a b c) wählen? Ist das die Lösung? ─ kamil 14.08.2020 um 13:50

Wir haben hier ja die Nullmatrix. Sie heißt so, weil sie jedes Element auf das Nullelement abbildet. Desbalb frage ich einafach mal anders herum: Welche Vektoren liegen nicht im Kern dieser Matrix?
(Deine Idee geht in die richtige Richtung, Formal ist es aber leider nicht richtig.)
─ christian_strack 14.08.2020 um 13:55

Asoo, alle liegen im Kern dieser Matrix? Aber wie schreibe ich das auf als Kernvektor? Limes: Vektor-> Gegen unendlich? :D ─ kamil 14.08.2020 um 13:59

Genau. Diese Matrix bildet wirklich jeden Vektor auf den Nullvektor ab. Ich denke mal wir sind im \$ \mathbb{R} \$. Dann gilt

$\mathrm{Ker}(A) = \mathbb{R}^2$
oder

$\mathrm{Ker}(A) =: \\left< \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} \\right>$
oder

$\mathrm{Ker}(A) = \\left\\{ u \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} | u,v,w \in \mathbb{R} \\right\\}$

mit der ersten Darstellung kannst du sofort sagen, dass hier jeder allgemeine Vektor auf Null abgebildet wird

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\\ b \\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix}$
Deshalb muss der Kern auch der gesamte Vektorraum sein.

Die beiden Abbildungen, sagen im Prinip das aus was du gesagt hast, Wir können jeden Vektor durch die Basisvektoren darstellen \$ < \ldots > \$ beschreibt ein Erzeugendensystem. In der dritten Form habe ich die Lösung über die Basis darstestellt :)

Genau. Diese Matrix bildet wirklich jeden Vektor auf den Nullvektor ab. Ich denke mal wir sind im \$ \mathbb{R} \$. Dann gilt
$$ \mathrm{Ker}(A) = \mathbb{R}^2 $$
oder 
$$ \mathrm{Ker}(A) =: \\left< \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} \\right> $$
oder
$$ \mathrm{Ker}(A) = \\left\\{ u \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 0 \\\  0 \\\ 1 \end{pmatrix} | u,v,w \in \mathbb{R} \\right\\} $$

mit der ersten Darstellung kannst du sofort sagen, dass hier jeder allgemeine Vektor auf Null abgebildet wird
$$ \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0   \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\\ b \\\ c  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix} $$
Deshalb muss der Kern auch der gesamte Vektorraum sein.

Die beiden Abbildungen, sagen im Prinip das aus was du gesagt hast, Wir können jeden Vektor durch die Basisvektoren darstellen \$ < \ldots > \$ beschreibt ein Erzeugendensystem. In der dritten Form habe ich die Lösung über die Basis darstestellt :)

─ christian_strack 14.08.2020 um 14:18

Verstehe gerade nicht warum mein Code so zerschossen wurde. Muss einemal mit dem Support quatschen

─ christian_strack 14.08.2020 um 14:24

Der Code sieht schrecklich aus. Ich schreibe als Lösung das, was am Anfang steht. Kern(A)=R² ─ kamil 14.08.2020 um 16:12

so jetzt müsste der Code vernünftg sein :) ─ christian_strack 14.08.2020 um 16:17

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