Eigenschaften von Relationen und Operationen in ganzen Zahlen

Erste Frage Aufrufe: 465     Aktiv: 26.01.2021 um 15:30
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Hallo,

ich muss diesen Satz beweisen:

A a e Z:            (-1) * a = (-a) 

 

( A a e Z = a Element aus allen ganzen Zahlen )

 

Ich hoffe es kann mir jemand helfen:) Danke!

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Punkte: 15

 
Wie habt ihr denn die ganzen Zahlen und die Multiplikation auf den ganzen Zahlen definiert?   ─   stal 26.01.2021 um 15:02
Wir haben die ganzen Zahlen als die Menge aller Klassen von zueinander differenzgleicher geordneter Paare natürlicher Zahlen definiert.   ─   anja287 26.01.2021 um 15:10
Du sollst aufgrund einiger Axiome zeigen, dass die Multiplikation eines Elements a mit dem Additiv Inversen des Einselements das Additiv Inverse von a ergibt. Leider weiß ich hier nicht genau welche Dinge du schon voraussetzen darfst, was hier sehr entscheidend ist. Vielleicht kannst du noch ein bisschen erklären was ihr schon festgelegt oder bewiesen habt.

   ─   jojoliese 26.01.2021 um 15:13
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1 Antwort
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Sei \(a\in\mathbb Z\) und \((a_1,a_2)\) ein Repräsentant der Äquivalenzklasse von \(a\), also \(a=[(a_1,a_2)]\). Kannst du die Äquivalenzklasse von \(-a\), also dem additiv Inversen von \(a\) angeben? Es gilt \(-1=[(0,1)]\). Was ist demnach \(-1\cdot a=[(0,1)]\cdot[(a_1,a_2)]\)? (Ihr habt bestimmt eine Formel für die Multiplikation in den ganzen Zahlen mit den Äquivalenzklassen). Sind nun also die beiden Äquivalenzklassen von \(-a\) und \(-1\cdot a\) gleich?

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Warum ist für -1 = [(0;1)]?

Vielen Dank!   ─   anja287 26.01.2021 um 15:26
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\(-1\) ist das additive Inverse zu \(1\). \(1\) ist die Äquivalenzklasse \([(1,0)]\), das additive Inverse ist die Äquivalenzklasse, bei der die Einträge vertauscht sind, also \([(0,1)]\). (Du kannst nachrechnen, dass \([(a,b)]+[(b,a)]=0\).
Wenn du keine Ahnung hast, wovon ich rede, habe ich vielleicht zu viel oder die falschen Sachen vorausgesetzt. Dann musst du mir noch sagen, wie ihr Addition und Multiplikation auf den ganzen Zahlen definiert habt und welche Eigenschaften ihr schon gezeigt habt.   ─   stal 26.01.2021 um 15:30

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