Vollständige Induktion bei zweifacher Ungleichung

Erste Frage Aufrufe: 268     Aktiv: 07.09.2023 um 00:56

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Hallo zusammen,

ich hänge an folgender Aufgabenstellung:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass
2n + 1 ≤ n^2 ≤ 2^n
für alle n ≥ 4 gilt.

Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung/Behauptung sind klar.

zu zeigen ist: 2(n+1)+1 ≤(n+1)^2≤2^n+1

Zuerst schnappe ich mir den Abschnitt:

2(n+1)+1 ≤(n+1)^2     " hier will ich zeigen, dass (n+1)^2 >=2(n+1)+1  oder? "
= (n+1)^2
=n² + 2n + 1
"Anwendung der Induktionsvoraussetzung, n^2 wird getauscht durch 2n + 1 ergibt"
= 2n + 1 + 2n + 1
=4n + 2 >= 2(n+1)+1 bzw. 2n +3

Kann ich das so machen?
Was die zweite Ungleichung angeht:

(n+1)^2≤2^n+1 "hier will ich zeigen, dass (n+1)^2 <= 2^n+1  oder wie Daniel in einem seiner Videos es formulierte: zu (n+1)² da will ich hin?"
<= 2^n+1 = 2^n * 2¹ = 2^n + 2^n "Anwendung der IV ich tausche 2^n mit n² = n² + 2^n und ab hier weiß ich nicht mehr weiter bzw. ob es überhaupt so funktioniert.

Danke vorab schonmal für eure Unterstützung!
VG
Don


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Moin,

das sieht schon mal ganz gut aus, mit der Form musst du aber noch aufpassen. Für die erste Ungleichung sollte man schreiben$$(n+1)^2=n^2+2n+1\ge (2n+1)+2n+1=4n+2\ge 2n+3=2(n+1)+1$$wobei die erste Ungleichung aus der Induktionvorraussetzung folgt. Auch bei der zweiten Ungleichung sollte man das anders aufschreiben:$$2^{n+1}=2^n\cdot 2\ge 2n^2=n^2+n^2\ge n^2+2n+1=(n+1)^2$$wobei die erste Ungleichheit aus der Induktionvorraussetzung und die zweite Ungleichheit aus dem obigen Beweis folgt.

LG
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@fix \stackrel{IV}{\ge}, gibt $\stackrel{IV}{\ge}$, ist ein nützlicher LaTeX-Befehl.   ─   mikn 06.09.2023 um 23:05

Danke, den kannte ich noch nicht!   ─   fix 07.09.2023 um 00:56

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