Monoton und injektiv dann auch bijektiv?

Erste Frage Aufrufe: 2114     Aktiv: 29.02.2020 um 09:37
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Wenn f: R->R monoton und injektiv ist, ist f dann auch bijektiv? Ich würde Nein sagen, da nicht vorausgesetzt ist das f stetig sein muss, falls f nun "Lücken" haben sollte, wäre es nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv oder ?
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kannst du das erläutern? Es gibt ja genug unstetige Funktionen, die von \( \mathbb R \) nach \( \mathbb R \) abbilden.
Edit: war auf einen bereits gelöschten Kommentar bezogen.   ─   chrispy 26.02.2020 um 17:27
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1 Antwort
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Da liegst du richtig. Ich nehme mal an, dass du strenge Monotonie forderst. Es gibt allerdings auch stetige Funktionen, die streng monoton sind aber nicht bijektiv. Beispielsweise
\( f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) mit  \( f(x) = e^x\).
Dass die Funktion streng monoton wachsend und stetig ist, ist hoffentlich klar aber es werden keine negativen Funktionswerte angenommen. Sprich die Funktion ist injektiv, aber nicht surjektiv.

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Student, Punkte: 1.06K

 
Nein strenge Monotonie ist nicht gefordert, die Frage ist nur wenn f injektiv und monoton ist, ist f dann auch bijektiv? Deswegen bin ich mir unsicher   ─   JasminLoos 26.02.2020 um 17:44
Für zusammenhängende Teilmengen der reellen Zahlen gilt, dass injektive stetige Funktionen immer streng monoton sind.
(\( \mathbb R\) ist natürlich eine zusammenhängende Menge.)
Also um deine Frage zu beantworten nein, wenn f injektiv und monoton ist, dann muss f nicht bijektiv sein. Ein Beispiel dafür kannst du in meiner Antwort finden.   ─   chrispy 26.02.2020 um 17:56
Tatsächlich bildet die e-Funktion aber von den reellen auf die POSITIVEN reellen Zahlen ab und diesbezüglich ist sie durchaus bijektiv. Man kann es auch so formulieren: Jede stetige und streng monotone Funktion ist bijektiv, wenn man die Zielmenge auf den Wertebereich einschränkt.   ─   mathematinski 28.02.2020 um 16:55
Ja klar, weil jede stetige und streng monotone Funktion immer injektiv ist (auf jeden Fall auf zusammenhängenden Mengen der reellen Zahlen). Wenn man jetzt noch Surjektivität voraussetzt (Zielmenge auf Wertebereich einschränken) dann folgt natürlich Bijektivität. Außerdem sind in der Frage explizit nach Funktionen von \(\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) gefragt.   ─   chrispy 29.02.2020 um 09:37

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