Ebene im 2 Dimensionalen Raum

Aufrufe: 28     Aktiv: 04.04.2021 um 19:33

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Ich habe folgendes Verständnisproblem. Ich verstehe mittlerweile, dass ein GS im R^(2) entweder eine Lösung (Punkt), mehrere Lösungen (Gerade) (Gleichungen sind abhängig- eine Dimension geht "verloren") oder keine Lösung haben kann.

Das gleiche gilt für R^(3) => entweder eine Lösung (voller Rang), mehrere Lösungen (voller Rang - 1 = Schnittgerade) oder als Lösung eine Ebene. (oder eben keine Lösung)

Doch was bedeutet Ebene überhaupt? Spannen nicht zwei linear unabhängige Vektoren des R^(2) (z.B. die kanonischen Basisvektoren) (1 0 ) (0 1) => {(1 | 0) *c + (0 | 1) *d } nicht genauso eine "Ebene" auf ? Klar, wären die zwei Vektoren des R^(2) linear abhängig, kann es sich um keine Ebene als Lösung handeln (ist grafisch vorstellbar), aber alles was den R^(3) Raum betrifft, ist für mich schwer nachzuvollziehen (Die Idee wäre doch allgemein, dass im R^(3) ein Raum aufgespannt werden kann (z.B. wieder die kanonische Basis)=> {(1 | 0 | 0) *c + (0 | 1 | 0) *d + (0 | 0 | 1 ) *e }.

Vielen Dank euch :)
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Wie ich dir gerade eben kurz erläutert habe, musst du genau unterscheiden, ob du die Dimension des Kerns oder des Bildes meinst. Das Bild wird hierbei von den Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix aufgespannt und der Kern ist die Lösung des homogenen LGS. Die Dimension des Bildes bezeichnet man üblicherweise auch als Rang und die Dimension des Kerns als Defekt. Generell gilt folgender Zusammenhang zwischen der Dimension deines Vektorraums \(V\) und dem Rang und dem Defekt der Koeffizientenmatrix \(A\): $$\dim V = \dim \ker A + \dim \mathrm{im} A$$Diesist der sogennante Rangsatz. Versurch das ganze mal nachzuvollziehen und wende doch mal deine Beispiele auf diese Formel an :D
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