Tangentengleichung zu Funktionsgleichung

Erste Frage Aufrufe: 11     Aktiv: 02.05.2021 um 16:11

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Eine Tangente mit der Gleichung y=4x-2 befindet sich im Punkt (2/f(2)) an einem Graphen einer quadratischen Funktion f. Diese quadratische Funktion f verläuft durch den Koordinatenursprung.

Wie kann ich schriftlich (ohne Taschenrechner) die Funktionsgleichung von f bestimmen? Dass sich eine quadratische Gleichung aus y=ax^2+bx+c zusammensetzt weiß ich, weiter komme ich aber nicht.
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Der Ansatz \(f(x)=ax^2+bx+c\) ist schonmal gut. Jetzt hast du drei Parameter \(a,b,c\), die du bestimmen musst. Dafür brauchst du in der Regel drei Gleichungen. Was haben wir also an Informationen gegeben? Die Funktion \(f\) verläuft durch den Ursprung, d.h. \(f(0)=0\). Das ist schonmal eine Information. Jetzt zur Tangente. Diese berührt die Funktion \(f\) im Punkt \((2|f(2))\), muss also insbesondere an der Stelle \(x=2\) den gleichen Funktionswert haben wie \(f\). Also ist \(f(2)=4\cdot 2-2=6\). Schließlich weißt du, dass die Tangente die Funktion nicht schneidet, sondern berührt. Also müssen auch die Steigungen von Funktion und Tangente gleich sein, daraus erhälst du \(f'(2)=4\). Jetzt hast du drei Gleichungen. Wenn du jeweils die linke Seite durch den Funktionsterm ersetzt, erhälst du ein Gleichungssystem, das du dann nach \(a,b,c\) auflösen kannst.
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